中學最燒腦的問題之顛覆三觀——0.999無限循環竟然等於1？

2020-08-14 阿拉丁說數學


寫在前面

別以為你穿個貴點的馬甲我就不認識你是1了！

疑惑不解的0.999...



在中學我相信大家一定聽說過



這個傳說吧，我記得當時是一個同學給我講的，奈何我當時年少輕狂，一口否認肯定不等於，還大言不慚地說什麼無限靠近永不相交。現在想想是我年少無知。

那麼這個和1靠的非常近的無限循環小數到底等不等於1呢？阿拉丁今天就好好和大家探討一下(為了讓更多的人可以聽懂，阿拉丁不會講關於實數理論的嚴格證明）



一些所謂的證明

在正式討論之前我們先來看看「民間數學家」的非主流證明

分數證明



這個證明真的是華麗中透著一絲絲樸素，矛盾中透著一絲絲合理，妖豔中透著一絲絲淡雅......

看似無懈可擊、天衣無縫，實則偷換概念，利用人的慣性思維。



方程證明


哇塞，好棒棒，又是一個看似天衣無縫，閉月羞花、傾國傾城.....咦好像不太對，哎呀別在意。這樣證明的存在到底是人性的扭曲還是道德的淪喪？

阿拉丁有話說

以上兩種證明是現在市面上比較普遍的證明。當然，這種證明的存在即有合理性，我們只能說這些證明有問題，但不能說他們不應該存在，阿拉丁覺得有了這些的存在，才能引發人們對於數學的思考。

那為什麼說這些證明是不對的呢？其實他們只是偷換了概念，利用慣性思維罷了。在中學課本上從來沒有任何地方定義過無限小數的加、減、乘、除四則運算吧，所以無論說


還是


都是我們慣性思維照搬有限小數的四則運算罷了。他們如何相等，我們並不知道。



相等的意義

那麼下面阿拉丁就儘量用大家都能聽得懂的方式來解釋一下為什麼



分數相等的意義

我們小學學過自然數，在自然數範圍內，表示是唯一的，比如說2=2一定成立，不可能在自然數中除了2還有什麼數字 A ，使得 A=2。

但是上了上了初中以後我們學習了有理數，其實就是說分數的概念。那麼表示就不唯一了。比如還是2，我們可以表示成


等等

其實分數這樣的表示是一種「家族式表示」就是一種類的概念，當數系從自然數擴展到有理數，每一個數都是有無限多個相等的數組成的類，我們稱之為 「等價類」 ，所謂兩個分數相同，指的就是他們兩個屬於同一個等價類。

可以說在自然數系裡每一個數都是孤獨的，而在有理數系中每一個數都有著無數的和它相等等 小夥伴陪著它。也就是說分數或者有理數是以等價類的形式存在的



實數相等的意義

那麼隨著數系的擴充有理數擴展到實數，這裡可能有一點點小難理解，需要用到極限的概念。

我們表示一個數的常用方法是把任意一個實數看做收斂的有理數列。這就是說，所謂實數，就是 「極限相同的有理數列」 的共同體，因此它也是一個等價類。

舉個例子，比如兩個有理數列


滿足


,則說兩者屬於一個等價類。

我們把每一個等價類都當做一個對象來看待，這裡的對象指的是一列有理數，比如

根號2 就可以表示為


(即根號2 的不足近似值組成)，也可以表示為


(即根號2的過剩近似)。因此我們可以看到 根號2有著無數的極限相同的有理數列表示，它們屬於同一個等價類。



因此我們說


和


都是收斂到1的有理數列。在這個意義上，它們屬於同一個等價類，代表同一個實數。

於是可以寫成


也就是我們今天的主題


阿拉丁有話說

由此看來，有理數的表示不唯一，由彼此相等的分數構成等價類。而實數表示也不唯一，可以表示為收斂的無限數列，具有相同極限的有理數列構成等價類。

因此


不再是數與數之間的概念，而是類與類之間的概念。

今天你學廢了嗎？



後記

這個問題其實對於中學生來說有點超綱，但是實實在在可以作為數學類的科普，阿拉丁在網上看到很多關於這方面的討論，大多數是網絡噴子啥也不懂亂噴人。不過有興趣的同學也可以去了解一下這個問題的嚴謹證明，通常可以用戴德金分割和柯西序列法來證明。

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    寫在前面別以為你穿個貴點的馬甲我就不認識你是1了！疑惑不解的0.999...在中學我相信大家一定聽說過這個傳說吧，我記得當時是一個同學給我講的，奈何我當時年少輕狂，一口否認肯定不等於，還大言不慚地說什麼無限靠近永不相交。現在想想是我年少無知。那麼這個和1靠的非常近的無限循環小數到底等不等於1呢？
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    0.999……無限循環等於1嗎？這是非常老的一道題，相信絕大部分人都聽說過。令X=0.999……，10倍的X即10X=9.999……。10X-X=9X，也等於9.999……-0.999……=9。由此可得9X=9，X=1，所以0.999……=1。但是曾經在抖音上看了嚴伯鈞老師的講解後，知道了這題還有不等於1的情況，所以有了後半句話：不恆等於1。
  • 為什麼0.999……=1?以及這個等式給人類認知宇宙帶來什麼困惑
    相信你經常會看到有人說循環小數0.999......等於1，這讓你覺得不可思議，但又苦於證明過程比較高大上，你可能覺得自己理解的還不夠透徹，所以我們今天就聊一聊如何用基礎數學證明循環小數0.999......等於1，對你沒看錯，是基礎數學，沒有微積分，沒有極限，沒有任何高端的數學概念。順便我們在討論下無窮領域將給我們人類認知宇宙將帶來什麼困惑？讓我們開始吧！
  • 0.999……真的等於1嗎?
    本文轉載自【微信公眾號：環球科學】,經微信公眾號授權轉載，如需轉載原文作者聯繫0.999...=1？0.999…是否等於1？這個問題的背後是不同數學體系間的碰撞。是能用3種方法證明0.999…=1的老師，還是那些堅持比較規則，一心和老師作對的學生？為了解決這個問題，我們需要回到無限小數的定義上去。目前，人們對無限小數的定義建立在「收斂數列」的概念之上。
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    0.999…是否等於1？這個問題的背後是不同數學體系間的碰撞。我們將看到，在古典數學的框架內，0.999…=1得到了嚴格的證明，這也是該問題最為直接的解答方案。這就是我們在這裡要討論的問題。至少第一眼看上去，這個問題簡直讓人摸不著頭腦。這個問題就是：「0.999…=1正確嗎？」或者反過來說，「0.999…<1正確嗎？」0.999…這個表達式使用的是實數的小數記數法。
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    不知道大家有沒有聽過一個數學疑問，那就是0.99999循環是否等於1，這是一個經典的數學問題，就目前主流的科學來說，對這個問題早就有了定論，但是不少網友認為對這個問題感興趣，所以今天來談談這個問題。這個問題其實就是問這兩個數是否相等，從直覺上來看，0.999999循環肯定<1，因為0.99999循環是無限趨近於1，但是趨近於1就表示一直無法達到1，既然沒達到1就證明肯定比1小，這也非常符合我們的常識。不過目前主流數學家依然認為0.99999循環和1是相等的。為啥會有這個定論呢？
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  • 最讓人糾結的等式:0.999...=1
    最簡單的「證明」最簡單的證明是這樣的：1/3 = 0.333...，兩邊同時乘以 3，1 = 0.999... 。1998 年，弗雷德·裡奇曼（Fred Richman）在《數學雜誌》（Mathematics Magazine）上的文章《0.999... 等於 1 嗎？》
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    在眾多電影類別中，小編獨愛懸疑燒腦片，而在這一類別下，無限循環電影堪稱最愛。那什麼是無限循環電影呢？這些電影又有什麼過人之處呢？且聽小編一一解說。於是他的意識又被送回了火車上……以上就是小編閱片無數後挑出的無限循環燒腦好電影中的前三部，每一部都是絕對的刺激，絕對的震撼。無限循環電影的魅力就在於看了，沒看懂，再回頭看，才能明白個大概。這大概是燒腦類電影的共同特點吧，細思極恐。
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    這就是我們在這裡要討論的問題。至少第一眼看上去，這個問題簡直讓人摸不著頭腦。這個問題就是：「0.999…=1正確嗎？」或者反過來說，「0.999…<1正確嗎？」0.999…這個表達式使用的是實數的小數記數法。這個表達式裡的省略號意味著，最後一個9後面會跟著無窮多的9。只有在小數點後邊的數字確定的情況下（如192.252525…），這種表達式才有意義。
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    相信很多人都聽說過這樣一個問題，問0.999無限循環等不等於1，你說不等吧，但是可以通過一些簡單的證明過程證明它們是相等的，比如：1/3=0.333…，然後在這個等式兩邊同時乘以一個3，等式就變成了0.999…=1，我們知道在等式的兩邊同時乘以或除以一個不為零的數，等式依舊相等，那麼這個地方