德國19世紀20年代到20世紀20年代，由高斯創始，黎曼、克萊因、希爾伯特等人發展致盛，在世界數學史中長期佔主導地位的學派。哥廷根學派強調數學的統一性，重視純粹數學和應用數學，將數學理論與近代工程技術緊密結合。哥廷根學派「兵多將廣」且代代相接，學科齊全且長期保持著高度創造力。然而到20世紀30年代，納粹執政後的瘋狂民族主義導致該學派日漸衰退。
高斯早年就學于格丁根，並在哥廷根擔任天文臺臺長和天文學教授，其《算術研究》和《曲面的一般研究》分別成為數論和微分幾何的奠基著作。黎曼也曾就讀哥廷根大學，1851年獲博士學位，後留校任教授。黎曼是複變函數論的創始人之一，以他名字命名的黎曼積分、黎曼曲面、黎曼幾何分別推動了積分理論、拓撲學和幾何學的發展。克萊因1886年受聘于格丁根大學，為學派的組織健全、人員匯集和理論發展做了大量工作。例如組織了許多討論班，造成相互合作、民主自由的學術氣氛；在《新的幾何研究成果的比較分析》中提出的「埃爾朗根綱領」，成為數學統一性的代表作，影響了學派的後繼工作。希爾伯特1895年應召到哥廷根後，在代數數論、幾何基礎、分析學、理論物理和數學基礎等方面做出巨大貢獻。希爾伯特注重數學與物理等學科的聯繫，他新的統一觀點促進了20世紀數學的進展。諾特1916年到哥廷根後，創立了抽象代數學。並主持有關討論班，培養了大量近現代數學家，進而影響到法、蘇、美、英國的數學發展。
19世紀下半葉到20世紀初，德國柏林興起的數學學派，其代表人物為外爾斯特拉斯、弗羅貝尼烏斯、基靈等人。柏林學派主要從事數學分析、符號代數和幾何基礎方面的研究。雖然柏林學派不受限於共同的研究方向，但有著一致的哲學觀點，指導研究工作。
1856年，外爾斯特拉斯受聘到柏林大學執教，在數學分析的嚴密化方面做出了重要貢獻，給出連續、一致收斂等基本概念及其應用；在橢圓函數、行列式、線性代數、變分法等領域也取得豐富成果，成為該學派的帶頭人。1867年，弗羅貝尼烏斯和基靈進入柏林大學學習，在外爾斯特拉斯指導下獲博士學位。弗羅貝尼烏斯繼承了外爾斯特拉斯有關初等因子的理論，獨立引入符號矩陣代數，創造了型的符號代數。基靈則對外爾斯特拉斯有關幾何基礎方面，做出了獨特的研究，創立了李代數的結構理論和環與代數的結構理論。
19世紀下半葉到20世紀初，在俄國聖彼得堡城興起的學派，其代表人物為切比雪夫、馬爾可夫、李亞普諾夫等人。彼得堡學派的主要特徵是數學理論與實際應用緊密地結合，並在應用數學中做出了較大貢獻。
切比雪夫作為學派的創始人，一生在數論、概率論、函數逼進論、機械原理和積分學等領域共發表70餘篇論文；自1847年起一直在聖彼得堡大學任教，培養出大批優秀學生並逐漸形成了學派。馬爾可夫早年在聖彼得堡大學受教於切比雪夫，後留校任教授。他的《差分學》和《概率論》已成為經典著作，其中馬爾可夫過程也已發展成概率論的一個新分支。同樣作為切比雪夫學生的李亞普諾夫，在概率論中給出了中心極限定理的簡潔證明，並對運動穩定性理論提出許多新的解決方法。
彼得堡學派是俄國（蘇聯）最早的數學學派，對蘇聯近代數學的發展產生過巨大影響。20世紀中，聖彼得堡（列寧格勒）又出現了坎託羅維奇等現代數學家，他們在繼承和發展彼得堡學派的理論及傳統方面做出了的貢獻。
19世紀60年代興起於義大利，由布廖斯基、貝蒂和克雷莫納「掌門」。該學派的工作在性質上屬於古典代數幾何，有著自己的風格和研究主題，代表了代數幾何發展中的幾何傾向，對義大利數學的全面發展有深遠影響。
19世紀50年代開始，義大利數學家與歐洲數學有了廣泛交流，使義大利擺脫了閉塞落後的局面。1863年，波倫亞大學的數學教授克雷莫納給出平面曲線一般變換理論的闡述，此後又發展了被稱為克雷莫納變換：任意維射影空間的射影平面與有理平面的雙有理變換理論。他的一系列工作成為義大利代數幾何研究的起點，並激發了許多數學家的研究。
19世紀90年代後，義大利第二代代數幾何學家成長起來，其中塞格雷於1894年擴展應用了曲線族中曲線在一條曲線上截得點的線性系的思想，啟示後人發現許多新的雙有理不變性質。19世紀末卡斯泰爾諾沃與恩裡克斯開始合作，以線性係為中心概念進行研究。利用克雷莫納變換奠定了代數曲面中曲線的線性系理論，並對曲面分類理論進行了深刻的研究。塞維裡師從塞格雷，完善了代數曲面雙有理不變量理論，並推廣到任意維代數族上。他還建立了代數幾何中的基礎理論，為代數曲面上零維團鏈理論打下了基礎。
19世紀末興起於法國巴黎高等師範學校，以阿達馬、波萊爾、貝爾、勒貝格等人為代表。
法國數學在18世紀末到19世紀30年代，在分析、幾何和數學物理方面取得巨大成就。19世紀末法國數學重新崛起，阿達馬在函數論領域做了開創性工作，成為學派的精神領袖，並在20世紀初開辦討論班，培養了一批優秀數學家。波萊爾1897年任巴黎高等師範學校講師，其《函數論教程》闡述了測度理論，並給出覆蓋定理的一個新證明。他編輯的「函數論著作叢書」先後出版約50本，其中包含了將集合論用於實變函數論和複變函數論的新思想。1899年貝爾研究了連續函數的極限函數的特殊問題，並發展了半連續概念，此後集中研究非連續函數，成為實變函數論的開拓者之一。1897年勒貝格畢業於巴黎高等師範學校，兩年後開始發表有關函數分類的文章，1902年在博士論文《積分、長度與面積》中詳細闡述了勒貝格積分概念，成為現代積分論的開端。後又在《積分與原函數的探索》中證明了有界函數黎曼可積的充分必要條件是不連續點構成一個零測度集，完全解決了黎曼可積性問題，為實變函數論打下堅實的基礎。
在20世紀初，法國函數論學派吸引了世界各地的學生，推動了世界函數論的發展。第一次世界大戰使法國科學研究遭受重創，函數論學派的沒落。法國數學在戰後逐漸轉向應用領域和公理化方法。
美國數學在19世紀後期才逐漸與歐洲數學接軌，而普林斯頓學派於20世紀初興起於美國普林斯頓，並一直延續到20世紀50年代，以範因、維布倫、外爾、莫爾斯等人為代表。普林斯頓學派既在微分幾何與拓撲學的傳統優勢中引進新的工具，又開拓數學物理等新領域。以優勢學科帶動其他學科全面發展，以數學理論研究推動科學應用，並廣泛開展國際交流與合作，是現代數學的發展的一種非常成功的模式。
範因就是在當時的世界數學中心德國獲得博士學位，自1885年起一直在普林斯頓工作，曾任普林斯頓大學數學系主任、教師會主席、科學系主任、代理校長等職，1911和1912兩年任美國數學會主席。範因主要以講課、編寫教科書和科學組織、管理等方面的工作促進普林斯頓數學的發展。1905年維布倫到普林斯頓大學任教，在幾何基礎、射影幾何、組合拓撲等領域做出了成果；1922年後，與艾森哈特一起引入路線概念作為空間的基本結構元素，深入研究了路線幾何學的流形，後又對微分流形和微分幾何的公理化進行了深入研究，並注重微分幾何與相對論、電磁學、動力學和量子理論相結合，他的《射影幾何》、《位置分析》都已成為經典著作。1933年，普林斯頓高等研究院成立，聘請了一批世界著名的數學家，創辦了《數學年刊》，開設了數學討論班。
20世紀初的蘇聯在莫斯科創立的學派，又細分為兩個側重不同的學派：由葉戈洛夫和盧津創始，柯爾莫哥洛夫等人發揚光大的函數論學派；以亞歷山德羅夫、烏雷松、龐特裡亞金等人為代表拓撲學派。
莫斯科學派直接代表了蘇聯近現代數學發展的水平。盧津是葉戈洛夫的學生，曾到法國和德國學習，後在莫斯科大學講座實變函數論，並寫有實變函數論教科書。他曾證明可測函數的構造等定理。柯爾莫哥洛夫在數論方面做了大量工作，並應用實變函數論和測度論將概率論建立在嚴格的數學基礎上。亞歷山德羅夫和烏雷松也都是盧津的學生，早年從事函數論研究，後轉向拓撲學，成為20世紀該學科的先驅。烏雷鬆開創了維數理論的研究，為發展一般拓撲學做出了傑出貢獻。龐特裡亞金參加了亞歷山德羅夫組織的拓撲學討論班，他寫了幾本重要的拓撲學專著，且在應用數學領域取得較大成就。
莫斯科學派將函數論作為工具，在拓撲學、微分方程、概率論等幾個方面都獲得長足發展，其中有較著名數學成果的還有索伯列夫的現代微分方程理論、辛欽的概率研究、蓋爾範德的泛函分析與代數成就等。近年來莫斯科數學界仍然新人輩出，在他們中諾維科夫和馬爾庫利斯分別榮獲1970年和1978年度菲爾茲獎。
20世紀上半葉以英國劍橋大學為中心興起，以哈代和李特爾伍德為代表的學派。劍橋大學自牛頓時代開始一直是英國的數學中心，而數學在其教學體制中又佔有重要地位。1837年，劍橋數學雜誌創刊，供年輕數學家發表研究成果。
19世紀下半葉，凱萊、福賽思、霍布森等人的工作成為劍橋分析研究的先驅，哈代1900年畢業於劍橋大學三一學院，後留校執教，他的《純粹數學教程》是一本嚴格的初等分析教程，產生了較大影響。1910年，李特爾伍德成為哈代的同事，1912年開始與哈代聯名發表論文，35年中在丟番圖逼近、數的加性和積性理論、黎曼函數、不等式、積分、三角級數等分析領域合作論文近100篇。1913年，哈代發現了印度天才數學家拉馬努金，並與拉馬努金在素數分布、加性數論、廣義超幾何級數、橢圓函數、發散級數等方面也有成功的合作。在此期間，哈代和李特爾伍德的教學激發了許多學生對分析學的興趣。到20世紀30年代，兩人共同主持的聯合討論班培養了遍及世界各地的學生，也為訪回劍橋的數學家提供了學習良機，比如著名的數學家楊、託德、華羅庚、烏拉姆等人。
劍橋分析學派將嚴密化的分析及積分方程、測度等工具用於數論、函數論研究，發展起圓法等重要的分析方法，並解決了一大批數學問題。這種將純粹數學與應用數學互相補充、共同發展的風格擴大到分析學的研究領域，促進了數學各分支的協調發展。
波蘭學派興起於兩次世界大戰間，依據地點一般又細分為華沙學派和利沃夫學派。華沙學派以1920年創刊的《數學基礎》雜誌為形成標誌；利沃夫學派則以1929年創刊的《數學研究》雜誌為代表。兩學派的成員分別在兩份雜誌上發表文章，兩份雜誌也因此成為了國際上重要的數學雜誌。謝爾品斯基、尼謝夫斯基、馬祖爾克維奇是波蘭學派的創始人。他們都曾在華沙大學工作，一起創辦了《數學基礎》，貢獻領域主要在集合論和拓撲學。同時非常注意科學團體的組織建設，以學派刊物為中心，吸引和培養了一大批優秀的數學家。利沃夫學派的代表人物是巴拿赫、施坦豪斯、庫拉託夫斯基、烏拉姆等人，他們先後學習或執教於利沃夫技術大學，主要是對泛函分析學科的創立和發展做出了貢獻。學派常在一個「蘇格蘭咖啡館」中聚會，提出和討論數學問題，其中不乏影響到20世紀後半葉數學發展的問題。除此之外，波蘭學派的成員還遍及克拉克夫和波茲南，也促進了波蘭數學會及其他科學機構的組建。由於第二次世界大戰納粹的佔領，波蘭學派隨之衰退，幸好戰後得到數度復興。
20世紀30年代出現於法國，由一群青年數學家組成，借用尼古拉·布爾巴基為集體的筆名，發表數學論文和有關數學基礎問題的專著。這群青年在廣泛深入地研究現代數學本質的基礎上，提出用數學結構的觀點對各數學分支進行統一處理，並為此撰寫了鴻篇巨著《數學原理》。該書自1939年開始出版以來，已先後出版了近40卷，並陸續被譯成英、日、俄等多國文字。同時，還發表500多篇綜述當代數學各個領域重大成果的文章。
因為第一次世界大戰，戰後的法國數學界，出現了青黃不接的局面：老一輩數學家對當代數學所知甚少，年輕大學生的求知慾得不到滿足。於是，1934年冬，一些高等師範學校畢業的年輕數學家自發地組織起來，約定1935年7月在巴黎召開第一次布爾巴基大會，並計劃編寫《數學原理》。這些年輕的數學家包括韋伊、迪厄多內、嘉當、謝瓦萊、德爾薩特等人，成了布爾巴基學派的第一批主要成員。該組織每年舉行數次討論班式的聚會，探討數學發展動向，運用公理化方法研究整個數學的基礎和本質。會議沒有任何程序，參加者可自由地踴躍發言。學派中的成員被要求必須具備較高的數學造詣和獨立解決問題的能力，且對自己研究的課題懷有強烈的興趣。他們治學態度嚴謹，對一部著作要經過反覆修改，直到大家基本滿意。因此一本書從動筆到正式出版平均要8一10年。為了保持組織的青春活力，學派中有個不成文的規定：凡年滿50歲者必須退出。有許多學派的老一代成為了國際著名的數學家，較年輕的也有不少是優秀的數學家，如獲得過國際數學家大會頒發的菲爾茲獎的施瓦爾茨、塞爾、格羅騰迪克等人。
《數學原理》博大精深常，書中堅持嚴格的公理化原則，並使用新穎獨特的名詞術語，其理論體系以「分析的基本結構」為基礎，內容包括集合論、代數學、一般拓撲學、實變函數論、拓撲向量空間、積分論。此外，還有李群與李代數、交換代數、譜理論、微分流形與解析流形等分冊，書中強調數學是一門統一的結構性科學，具有三種基本結構：代數結構、序結構和拓撲結構。數學中的不同分支都是其組成部分。該觀點對於豐富人們對數學的認識，推動數學的發展有重要意義，同時也影響了世界各國的數學教育。
20世紀初，直覺主義學派、邏輯主義學派和形式主義學派這3個學派，都是為解決數學基礎爭論而建立起來的。
【注】本文由《許興華數學》選自公眾號：數學與人工智慧。
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