每日一道數學題:最大公因數

這一期我們要學習的是最大公因數，內容包括最大公因數的定義，求最大公因數的幾種方法，最大公因數的應用等。首先我們還是從例題開始：

求42，126，168的最大公因數。

什麼是最大公因數？首先，幾個數公有的因數叫做這幾個數的公因數。公因數是可能有多個的，這些公因數裡面最大的一個，就叫最大公因數。那麼求最大公因數的方法有哪些呢？

求最大公因數主要有這幾種方法：列舉法、短除法、分解質因數法、輾轉相除法。下面我們介紹前三種方法。

按照最大公因數的定義，求最大公因數最基本的方法是列舉法，即將幾個數的因數全部列出，然後從這些因數中找到最大的那個公因數。我們來看一下例題怎麼解：

42的因數：1，2，3，6，7，14，21，42；

126的因數：1，2，3，6，7，9，14，18，21，42，63，126；

168的因數：1，2，3，6，7，8，12，14，21，24，26，42，56，84，168；

從上面可以看出這三個數的公因數有：1，2，3，6，7，14，21，42，最大公因數是42。

當數字比較大的時候，用列舉法是不方便的，那麼我們可以用另外一種方法：短除法。每次用這幾個數的公因數去除，直到商只有公因數1為止。請看下圖：

 求最大公因數的第三種方法是分解質因數法。將這幾個數分別分解質因數，然後找出公有的質因數，取公有質因數出現最少的次數，這些質因數的乘積即是最大公因數：

42＝2×3×7

126＝2×3×3×7

168＝2×2×2×3×7

這三個數公有的質因數是2、3、7，最少出現了1次，因此最大公因數是2×3×7＝42。

求最大公因數有什麼用途？在教材中主要是用於分數的約分，這是最基本的應用。而在實際問題中也有各種應用，我們在接下來的習題中會逐步接觸。