中考數學,遇到中點構造中位線常用的四種方法,巧解中點問題

2020-12-11 勤十二談數學

遇到「中點」字樣的題目有哪些解決方法？（1）原始用法，得到兩條線段相等；（2）基礎用法，通過等底等高得到面積相等；（3）倍長中線法，得到兩個三角形全等；（4）直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半，得到等腰三角形；（5）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高三線合一；（6）中位線，得到線段數量、位置關係，構造相似三角形等。

一、已知兩邊中點，取第三邊中點構造中位線

已知兩邊的中點，可以在第三邊上再取一個中點，從而構造兩條中位線，也可得到等腰三角形。

例題1：已知：如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交於點O，且AC=BD，E、F分別是AB、CD的中點，EF分別交BD、AC於點G、H．求證：OG=OH．

【分析】要證明OG=OH，只需要證明∠OGH=∠OHG。已知E、F分別是AB、CD的中點，可取BC中，構造中位線，從而得到等腰三角形，通過等邊對等角得到兩個角相等，從而得到結論。

二、通過三線合一構造中位線

例題2：如圖，在△ABC中，M是BC的中點，AN平分∠BAC，AN⊥BN於N，已知AB=10，AC=16，求MN的長.

【分析】已知「M是BC的中點，AN平分∠BAC」，可以延長BN交AC於點D，通過「三線合一」得到點N為BD的中點，可以得到MN是△BCD的中位線。

三、連接兩點構造中位線

例題3：如圖，△ABC的中線BD、CE相交於點O，F、G分別是OB、OC的中點，線段EF與DG之間有什麼關係？

【分析】關係包含數量關係與位置關係，連接OA，通過中位線可證明。

四、已知一邊中點，取另外一邊中點構造中位線

例題4：如圖，在△ABC中，點D是BC中點，點E是AB上任意一點（除A，B外），AD與CE相交於點F，求證：AE`×2FD=AF×EB

【分析】本題應該證明相似三角形，通過構造中位線得到平行線，進而得到相似三角形。

中考數學，遇到中點時，常用的四種構造中位線的方法。

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