手動@初中老師，為什麼我寫根號（-1）你要給我打錯

寫在前面

如果您知道複數，那麼複數可以比大小嗎？如果您不知道複數，那現在您知道了。

複數

話說複數真的是個神奇的東西，在初中我們要是見到 根號（-1）肯定會認為他錯了，根號下怎麼可能有負數呢？

隨著我們知識的增長，我們接觸到了數系的擴充，從最簡單的自然數到整數，再到有理數，再到實數。雖然數系的擴充帶來了很多新的問題，不過都是曾經所鋪墊好的

但是從實數到複數的擴充卻實實在在打破了我們的認知。根號（-1） 出現了！

不過阿拉丁今天不是講什麼是複數的，我相信大多數人還是知道複數這個概念的，對

i^2=-1 也是不陌生的，尤其是現在正在埋頭苦學複變函數的各位朋友。

阿拉丁今天主要想和大家探討一下我們見過實數比大小，但是為什麼沒見過複數比大小呢？

問題背景

說實話阿拉丁在高中還真沒想過這個問題，因為可能還是慣性思維，在複平面上的東西自覺認為它和坐標一樣，比單純大小沒啥意義。

但是最近複習的時候突然湧現很多問題，比如：為啥複數不能比大小？

因為從數系擴充的原則上來看，我們自然希望將實數集上的大小關係擴充到複數上去，同時需要保留原來大小關系所具有的通常必備的一些性質。

這也包括兩方面的內容：

• 能否在原來數集的基礎上，建立新數集的大小關係，並使其滿足順序率
• 新數集上的大小關係能否保留一些通常必備的性質（比如一些基本的運算律）

前幾次數系的擴充這兩個問題都得到了很好的解決，但是到了複數這裡似乎行不通了。我們只是用複數的模來比較，和原先數系完全不一樣。

阿拉丁有話說

阿拉丁覺得從自然數到實數肯定是遵循著某種定律，使得他們是可排序的，而複數剛好跳出了這個定律，比較複數的組成都和前幾者不太一樣。

複數集是有序集，可以先後排序

在我們的認知中不等號的存在導致數一定滿足三分律：

也就是說 兩個複數中實數部分大者該複數就大；實數部分相等，虛數部分大著，該複數就大

可是如此規定就是一般意義上的比大小嗎？

複數集不是有序域，不能比大小

雖然複數集是有序集，存在排序的概念，但是集合序還不等於大小數目順序，只有在集合順序在四則運算之下具有保序性時，才是真正意義上的比大小。

這裡阿拉丁簡單的介紹一下域 （域當然沒那麼簡單，近（去）世（世）代數，群環域讓你欲罷不能）

很顯然，複數集不滿足有序域的概念，

比如：

當然，這顯然是矛盾的。一般的，如果我們要研究複數集上任意元素的大小關係，都必須放棄對乘正數保序性的要求，所以複數集上不能比大小。

總結

我們在最開始將複數實部與虛部拿出來比較「大小」實際上不叫比大小，而是一種基於有序集的有序化過程。

而大小和順序是有本質差別的，因此複數可以有序化但不能比大小！

今天你學廢了嗎？

後記

這是最近阿拉丁突發奇想，加之多方求證得到的結論。想要講清楚域這個概念很難，所以只能放棄嚴謹，通過最簡單辦法來說明，肯定會有錯誤，不過歡迎大家批評指正，也可以私信我給出您的講解方式。

還有就是頭條號沒辦法編輯數學公式嗎？或者有誰能告訴問一下，我靠截屏粘貼圖片搞得特別難看。

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