三年級奧數下第十三講 巧求周長

第十三講 巧求周長

 

我們已經會計算長方形和正方形的周長了，但對於一些不是長方形、正方形而是多邊形的圖形，怎樣   求它的周長呢？可以把求多邊形的周長轉化為求長方形和正方形的周長。

 

例1 如圖13—1所示，求這個多邊形的周長是多少釐米？

 

分析 要求這個多邊形的周長，也就是求線段AB＋BC＋CD＋DE＋EF+FA的和是多少，而在這六條線段中，只有AB和BC這兩條線段的長度是已知的，其餘四條線段的長度均是未知的.當然，這個多邊形的周長    還是可以求的.用一個大正方形把這個圖形圈起來，如圖13—2所示，這個大正方形是ABCG.把線段EF水平    向上移動，移到CG邊上，這樣CD＋EF的長度正好與AB的長度相等.同樣把豎直方向上的DE邊向左移動，移    到AG邊上，這樣AF＋DE的長度正好與BC邊的長度相等.這樣雖然CD、DE、EF、FA這四條線段的長度不知

道，但這四條線段的長度和我們可以求出來，這樣求這個多邊形的周長就轉化為求一個正方形的周長，這    個多邊形的周長就可以巧妙地求出來了。

 

解：6×4=24（釐米）

 

答：這個多邊形的周長是24釐米。

 

說明：本例圖中的E點在豎直方向上不論移動到什麼位置（當然F點也隨著上下移動），這個多邊形的   周長都不變，當然D點在水平方向上移動（E點也隨著移動），所得到的多邊形周長也不變.這裡點的移動不能超出大正方形ABCG這個範圍。

 

例2 把長2釐米寬1釐米的長方形一層、兩層、三層地擺下去，擺完第十五層，這個圖形的周長是多少釐米？

分析 先觀察圖13—3，第一層有一個長方形，第二層有兩個長方形，第三層有三個長方形……找到規律，第十五層有十五個長方形.同樣，用一個大長方形把這個圖形圈起來.因此求這個多邊形的周長就轉化    為求一個長為2×15=30（釐米）、寬為1×15＝15（釐米）的長方形周長。

 

解：（2×15＋1×15）×2

 

=45×2＝90（釐米）

 

答：這個圖形的周長為90釐米。

 

例3 把長2釐米、寬1釐米的長方形擺成如圖13—4的形狀，求該圖形的周長。

 

分析 用一個大長方形把這個圖形圈起來，如圖13—5所示，這個大長方形的長為：2×10=20（釐米）、寬為：1×13＝13（釐米），這個複雜的多邊形的周長問題就轉化為

 

 

求一個長方形的周長問題。解：（2×10+1×13）×2

＝33×2＝66（釐米）

 

答：這個多邊形的周長為66釐米。

 

例4 圖13—6共有8條邊，分別用a、b、c、d、e、f、g、h表示，要測量它的周長，至少要測量哪幾條線段的長度？

 

分析 如果把這8條邊的長度都測量出來，當然這個圖形的周長也就知道了，但題目要求測量的邊數要儘可能地少，所以仍然用一個長方形把這個圖形圈起來.如圖13—7所示。

 

這個大長方形的長為b，寬為c.這裡與前面例題所不同的是，這個多邊形的周長並不等於這個大長方   形的周長，因為在豎直方向上a、g、e這三條線段有所重疊.在水平方向上， h＋f+d＝b.為了使測量的線段儘可能地少，因此在水平方向上只要測量線段b的長度，就可以求出水平方向上所有線段的長度和。

 

在豎直方向上，從線段a上截取一段g，則另一段a-g加上線段e就等於線段c的長度。  則 a＋g＋e＋c＝（g＋a-g）＋g＋e＋c

＝（a-g＋e）+2g＋c＝2c＋2g

 

或在線段c上截取一段，使其等於a-g，然後移至線段g的下面，這樣便有a+g＋e+c＝2（a＋e）.因此，在豎直方向上，只要測量線段c與g的長度或測量a與e的長度就可以求出豎直方向上所有線段的長度    和。

 

解：在水平方向上測量線段b的長度，在豎直方向上測量c、g或a與e的長度，這個多邊形的周長就可   以求出來了。

答：只要測量b、c、g或b、a、e三條線段的長度，這個多邊形的周長就可以求出來了。  例5 求圖13—8的周長.單位為釐米。

分析 為了敘述方便，在圖中標上字母A、B、C、D、E、F、G、H、J、K、M、N.如圖13—9所示. 在水平方向上：AB＋CD＋EF＋GH＋MN=KJ，因此水平方向上所有線段的長度和為：20×2=40（釐

米）。

 

在 豎 直 方 向 上 ：AK＋BC＋ED+FG＋MH＋NJ

=（AL+LK）+BC+ED＋FG+MH+NJ

 

=（AL＋BC）+（LK+MH）+（ED+FG）＋NJ

 

＝2BC＋NJ＋2ED＋NJ

 

=2（BC＋ED＋NJ）

 

而BC、ED、NJ的長度都是已知的，因此在豎直方向上所有線段的長度和就可以求出。  解：在水平方向上，所有線段的長度和為：

20×2=40（釐米）

 

在豎直方向上，所有線段的長度和為：

 

（3+8+9）×2＝40（釐米） 因此，這個多邊形的周長為：40+40=80（釐米）

答：這個多邊形的周長為80釐米.

習題十三

 

1. 一張長5分米、寬4分米的長方形紙板，從四個角上各裁去一個邊長為1分米的正方形，所剩部分的周長是多少分米？

 

2. 如圖13—10所示的多邊形，它的周長是多少釐米？

 

3. 用15個邊長2釐米的小正方形擺成如圖13—11的形狀，求它的周長。

 

 

4. 求圖13—12所示圖形（每個小正方形的頂點恰在另一個正方形的中心，且邊相互平行）的周長。

 

5. 用邊長為10釐米的五個小正方形拼成如圖13—13的形狀，這個圖形的周長是多少釐米？

 

6. 比較圖13—14中哪個圖形的周長長？

 

7. 求圖13—15的周長是多少釐米？

8. 正方形被分成了五個長方形，每個長方形的周長都是30釐米，求這個正方形的周長是多少釐米（圖

13—6）？

 

 

習題十三解答

 

1. 解：從長方形的四個角各裁去一個正方形後，剩下部分的形狀如右圖所示。

 

 

在水平方向上所有線段的長度和為：5×2=10（分米）。在豎直方向上，所有線段的長度和為：4×2=8（分米）. 因此，這個圖形的周長為：10+8=18（分米）。

答：這個圖形的周長為18分米.

 

2. 解：在水平方向上，所有線段的長度和為：

 

20×2=40（釐米）。

 

在豎直方向上，所有線段的長度和為：12×2＝24（釐米）.因此，這個圖形的周長為：40+24＝64

（釐米）。

 

答：這個圖形的周長為64釐米。

 

3. 解：在水平方向上，所有線段的長度和為：

 

2×9×2＝36（釐米）。

 

在豎直方向上，所有線段的長度和為：2×3×2＝12（釐米）因此，這個圖形的周長為：36＋12=48

（釐米）。

 

答：這個圖形的周長為48釐米。

 

4. 解：在水平方向上，所有線段的長度和為：

 

（2＋1×7）×2=18（釐米）。在豎直方向上，所有線段的長度和為：

（2＋1×7）×2=18（釐米）。因此，這個圖形的周長為：18+18=36（釐米）。

答：這個圖形的周長為36釐米。

 

5. 解：在水平方向上，所有線段的長度和為：

 

10×3×2＝60（釐米）。在豎直方向上，所有線段的長度和為：

10×3×2=60（釐米）。因此，這個圖形的周長為：60＋60=120（釐米）。

答：這個圖形的周長為120釐米。

 

6. 解：設每個小長方形的長為a，寬為b。

 

第一個圖形：在水平方向上，所有線段的長度和為：

 

3a×2＝6a，

 

在豎直方向上，所有線段的長度和為：5b×2=10b. 因此，這個圖形的周長為：6a+10b。第二個圖形：在水平方向上，所有線段的長度和為：

3a×2＝6a。

 

在豎直方向上，所有線段的長度和為：5b×2＝10b.因此，這個圖形的周長為：6a+10b。所以，這兩個圖形的周長一樣長。

答：這兩個圖形的周長一樣長。

 

7. 解：在水平方向上，所有線段的長度和為：

 

12×2=24（釐米）。

 

在豎直方向上，所有線段的長度和為：

 

（8+3+5）×2＝32（釐米）。因此，這個多邊形的周長為：24+32=56（釐米）。

答：這個多邊形的周長為56釐米。

 

8. 解：因為每個小正方形的周長為30釐米，所以每個小長方形的一個長與一個寬的和為：30÷2=15

（釐米）.因為每個小長方形的長等於5個小長方形的寬，因此，每個小長方形的長為：15÷（1＋5）×5

＝75÷6（釐米），即正方形的邊長為75÷6釐米。

 

因此，這個正方形的周長為：75÷6×4＝50（釐米）。答：這個正方形的周長為50釐米.

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