伽瑪函數積分與自然常數e的無窮級數之間的重要關係

2020-12-11 電子通信和數學

後續系列涉及的都是高等數學的內容，本篇討論伽瑪函數積分的一些應用

首先e的無窮級數形式如下圖

這個級數可以寫成如下圖分數的樣式，分母可以是任意一個整數的階乘，INTEGER是整數的意思，SMALL是小數的意思，這是一個非常重要的式子，它證明了e不是有理數（前面的很多文章都說明了這一點）

如果分母越大，SMALL表示的小數就越小，這個很容易理解

同理，e^2,e^3都可以寫成分數的樣式。

前面的文章《數學經典：伽瑪函數的原理及發現》已經證明了伽瑪函數，這個神奇的公式說明了任何數的階乘都可以求出來

如果我們在伽瑪函數中加入一個有關x的整數系多項式p(x)，展開後這其實就是一坨的伽瑪函數積分的和，所以這個含有多項式的積分也是整數，你明白了嗎？

展開後每個積分的X次方都至少是n，所以整個積分的結果就是n！乘以一個整數

我們已經知道了e的任意次整數冪都可以寫成分數的形式，如果e的次數改為x，那麼可以設

p(x)=e^x, 那麼就存在如下的重要結果，這個整數恰好是分母A,且為整數

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