這道競賽題求圖形的面積差，題目難出新高度，只有尖子生能做對

各位朋友，大家好！今天是2020年9月11日星期五，數學世界將繼續為大家分享小學各年級的數學競賽試題以及數學思考題。今天我們講解一道有關求陰影部分面積差的題目，此內容屬於小學數學中的圖形面積綜合題。此題對於多數學生來說是有較大難度的，屬於小學數學中的思維拔高題。數學世界在此分析與解答這些題目，希望能夠激發學生們的學習數學的興趣，並且給大家的學習有一些幫助！

例題：（小學數學競賽題）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，上底AD長為20釐米，下底BC長為80釐米，高AB長60釐米，分別以D和C為圓心，上底和下底為半徑做扇形，那麼圖中兩個陰影部分的面積差是多少平方釐米？（π取3.14）

這道題要求的並不是陰影部分的面積，而是兩個陰影部分的面積差，並且陰影部分並不是規則圖形，所以不可能運用常見圖形的面積公式進行解答，只能根據具體情況，考慮採用圖形割補法來解決問題。很多學生看完此題後就感覺完全不知從何處開始動筆，對於這樣的題型，他們很可能沒有見過吧。接下來，數學世界就與大家一起來完成這道例題吧！

分析：根據條件，陰影部分並不是一個規則圖形，考慮採用分割圖形法。如果圖中兩個陰影部分的面積都加上上面的小空白後，它們的差不變，如果能夠將這兩個由陰影都加上空白後的面積計算出來，問題就解決了。下面，我們就來想辦法求出形成的兩個圖形的面積。

過D點作BC的垂線，與BC相交於E點，因為四邊形ABCD是直角梯形，可以得到ABED是一個長方形，所以AB=ED=60釐米，AD=BE=20釐米，則CE=80-20=60釐米，於是得到DE=EC，即可得到三角形DEC是一個等腰直角三角形，因此得到∠C=45°，∠ADC=45°+90°=135°，下面就容易計算出扇形的面積了。採用圖形割補法，於是問題可以得到解決。下面，我們就按照以上思路解答此題吧！

解答：由題意可知，圖中兩個陰影部分的面積都加上上面的小空白後，它們的差不變。

如圖，過D點作BC的垂線，與BC相交於E點，

因為四邊形ABCD是直角梯形，則ABED是一個長方形，

所以AB=ED=60釐米，AD=BE=20釐米，

則CE=80-20=60釐米，

所以有DE=EC，

因為DE和BC垂直，

所以三角形DEC是一個等腰直角三角形，

所以∠C=∠CDE=45°，∠ADC=45°+90°=135°，

左邊陰影部分加上小空白部分後的面積為：

直角梯形ABCD-大扇形面積（即1/8圓）

=（20+80）×60÷2-π×80×80×1/8

=3000-800π

=488（平方釐米）

右邊陰影部分加上小空白部分後的面積為：

小扇形面積（即3/8圓）

=π×20×20×3/8

=150π

=471（平方釐米）

所以兩個陰影部分的差為：

488-471=17（平方釐米）

答：圖中兩個陰影部分的面積差是17平方釐米。

（完畢）

這道題主要考查了等腰三角形兩個底角相等、扇形面積的計算以及差不變的性質。解答此題的關鍵是：過D點作BC的垂線，得到三角形DEC是一個等腰直角三角形，求出扇形的面積，這也是此題的難點。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家在下面留言討論。