一道與阿氏圓有關的最大值試題的七種解法

一道與阿氏圓有關的最大值試題

的七種解法

廣東 楊俊      陝西  魏拴文 

 河北唐山   齊建民    湖南郴州  袁旭華 

   湖南永州  唐 佳       提供解法

湖北省陽新縣高級中學      鄒生書  編輯整理

解法1：換元後轉化為二次函數求最值   楊 俊  提供

解法3  餘弦定理+二次函數求最值  魏拴文  提供

 

如圖，設∠ONP=θ,連接OP.

在△PMN中，由余弦定理得，

PM2=NM2+NP2-2NM•NPcosθ,

即PM2=9+NP2-6NPcosθ     ①

在△PON中，由余弦定理得，

OP2=NO2+NP2-2NO•NPcosθ,

即1=4+NP2-4NPcosθ,

得NPcosθ= 1/4NP2=9+3/4

代入①式整理得

PM2=9/2-1/2NP2,

所以PM2+PN=1/2PN2+PN+9/2

=-1/2(PN-1)2+5≤5,

1=AN≤PN≤MN=3,當PN=1時，等號成立。

故PM2+PN的最大值為5.

解法4  勾股定理+三角形中線公式求解  齊建民  提供

因為MA為圓的直徑，所以∠APM=90°，

所以PM2=MA2-PA2=4-PA2,  ①

又PA是△PNO的中線，由三角形中線長公式得

PN2+PO2=2(PA2+OA2),

則PN2 =2PA2+1   ②

①×2+②得，2PM2+PN2=9,

所以PM2=9/2-1/2NP2,

所以PM2+PN=1/2PN2+PN+9/2

=-1/2(PN-1)2+5≤5,

1=AN≤PN≤MN=3,當PN=1時，等號成立。

故PM2+PN的最大值為5.

 

解法5  阿氏圓定義+三角形中線公式求解  袁旭華  提供

如圖，連接PO,PA,取OA中點Q，連接PQ.

依題意得AQ=MN/MQ=2，而AM是圓的直徑，

由阿氏圓的定義得PN=2PQ.

在△PAO中，因為PQ是中線，

所以由三角形中線長公式得

PA2+PO2=2(PQ2+OQ2),

則PA2 =2PQ2-1/2,  

因為MA為圓的直徑，所以∠APM=90°，

所以PM2=MA2-PA2=4-PA2,

所以PM2+PN=PM2+2PQ

=-2PQ2+2PQ+9/2

=-2(PQ-1/2)2+5≤5,

因為1=AN≤PN≤MN=3, PN=2PQ，

所以1/2≤PQ≤3/2,

所以當PQ=1/2時，等號成立。

故PM2+PN的最大值為5.

解法6  阿氏圓+外角平分線長求解  唐佳  提供

如圖，連接PO,PA,取OA中點Q，連接PQ.

依題意得AQ=MN/MQ=2，而AM是圓的直徑，

由阿氏圓的定義知PM是△PNQ的外角平分線，

由外角平分線長定理得

PM2=MQ•MN-PN•PQ=9/2-1/2NP2,

所以PM2+PN=1/2PN2+PN+9/2

=-1/2(PN-1)2+5≤5,

1=AN≤PN≤MN=3,當PN=1時，等號成立。

故PM2+PN的最大值為5.

 

解法7  用斯特瓦爾特（Stewart）定理一步到位求解 唐佳  提供

斯特瓦爾特（Stewart）定理：

設D是△ABC底邊上BC一點，則有

AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=DC·DB·BC。

斯特瓦爾特（Stewart）定理，常見的用於得到線段倍份關係、用於求解三角形問題。

 

如圖，連接PO。在△PMN中，用斯特瓦爾特（Stewart）定理得

PM²·ON+PN²·OM-PO²·MN=OM·ON·MN,

即2PM²+PN²-3=6,

所以PM2=9/2-1/2NP2,

所以PM2+PN=1/2PN2+PN+9/2

=-1/2(PN-1)2+5≤5,

1=AN≤PN≤MN=3,當PN=1時，等號成立。

故PM2+PN的最大值為5.