同學們好，上次內容，我們分享的是PC+K·PD中的「胡不歸模型」，胡不歸模型，說白了，就是動點P的運動軌跡是一條直線的模型，重點呢，是構造一個角，能將K·PD轉換成無係數的線段，作角一邊的垂線，從而求出最小值。
這次內容，我們就要分享關於PC+K·PD中的「阿氏圓模型」，也就是動點P的運動軌跡是一個圓或者圓弧的模型了。這種模型，叫做阿氏圓：這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，因此我們把它叫做阿氏圓模型。 那它的重點又是什麼呢？我們先來看看什麼是阿氏圓：
阿氏圓其實呢，就是平面上有兩個定點C,D，則所有滿足PD/PC=K(K≠1)的點P的軌跡是一個圓，且是以定比為K的內分和外分定線段CD的兩個分點的連線為直徑的圓。
咋理解？我們來畫一個阿氏圓你就清楚了。
給你兩個定點C,D，且給你一個DP/CP=k的比值，我們來畫一個阿氏圓。
步驟： 1）在CD上取一點P1，使得DP1/CP1=k
2) 在CD的延長線上取一點P2，使得DP2/CP2=k
3）以P1,P2為直徑畫圓，那麼圓上的任意一點P，就都能滿足PD/PC=k 了，此時P1為CD的內分點，P2為CD的外分點。
由阿氏圓的定義，我們連接PO,可得出△OPD~△OCD，證明如下
這是我們從阿氏圓能夠得出的另外一個模型圖，可以叫做「母子型相似模型」。
到此，我們需要的一些結論已經出來了。比如DP=K·PC
那阿氏圓和我們今天說的求最小路徑又有什麼關聯？
我們先來看一個最基礎「阿氏圓模型」。
「阿氏圓」模型
如下圖所示，⊙O的半徑為r,點B、C都在⊙O外，P為⊙O上的動點，已知r=k·OC.連接PC、PB，則當「PB+k·PC」的值最小時，如何確定P點的位置。
求PB+k·PC的值最小，但動點p的軌跡是個圓，沒法按照胡不歸模型構造角了。那就得要另想辦法，將這個k·PC進行轉化成沒有係數的線段。這可咋轉？
我們從阿氏圓可以得到一個啟發。K·PC=DP，就能將K轉化成沒有係數的線段。變成PB+PD了。
那麼關鍵問題就出現了。怎樣確定這個D點，其實就是求的阿氏圓中的兩個定點中的其中一個定點。只要在CO線段上找出這個定點D即可。
怎麼求D點，根據母子型相似模型，我們就能求出OD的長度，如圖所示
D點確定之後，就是一個定點了，連接B點，D點，交圓於P點，P就是所求的點，能使PB+PD最短，也就是PB+k·PC最短了。
那阿氏圓的模型說到這，大家應該就能知道只要求出阿氏圓的另外一個定點的位置。連接這個定點之後，就能求線段最短了。
總結一下步驟：
1）連接動點和圓心
2）題中告知或者求出OP（r）,OC的的長度，以及告知他們的比，即k
3）在OC上取點D，使得r/OC=OD/r（共邊共角構造相似）
4）連接B，D點，交圓於P點即可
讓我們來看到簡單的例題來理解一下
例題
看題，典型的阿氏圓模型。求AP+(1/2)BP,求最小值。
首先1）連接CP，
2）關鍵點，在BC上求一點D，使得r/BC=CD/r，求得CD=r的平方/BC=1（構造共邊共角相似，r的平方=原有線段（CB）×構造線段（CD））
3) 連接AD點，根據已知條件和勾股定理可得AD=√37（根號37）
練習（變式）
例題和練習相對來說不是很難。它還有很多變化的題目。但是套路都是差不多。阿氏圓模型，難點在於不是很好理解。但只要多琢磨琢磨，多思考一下。還是能發現其中的一些關鍵點的。當然，方法不止這一種。還有其它方法。但是原理都差不多。把阿氏圓的定義理清楚會對這個模型的理解有一定幫助。
好了，今天的分享就到這。我們後面還會對阿氏圓這塊進行進一步的探討。喜歡我們的文章，請收藏，點讚，關注我們，我們後期還有更多的內容分享給大家。謝謝。