業餘數學之王費馬用高超的數學技巧得出了X^n的不定積分

2020-09-03 電子通信和數學領域

在牛頓和萊布尼茲發明微積分之前，數學家費馬，沃利斯，卡瓦列裡就已經解決了X^n曲線下的面積，他們的方法今天看來，仍然是非常巧妙的，美妙的數學思想源於一顆偉大的數學頭腦，今天我們就來欣賞業餘數學之王費馬的方法

第一：現代方法

如下是X^2,X^3,X^4的指數函數圖形，

一般的函數公式就是

用現代書本上黎曼求和的方法進行細分


結合牛頓-萊布尼茲公式得到

這是現代教科書上的方法，看上去很簡單

第二：費馬的方法

費馬首先引入了幾何級數的概念，如下圖

上述的幾何級數源於如下公式

費馬將X^n曲線劃分成不相等的區間，而且是使用幾何級數來確定每個小矩形的寬度，如下圖，且0<r<1

那麼每個矩形的寬度就是：它們是按幾何級數增長

接著確定每個矩形的高度，如下圖：帶入X^n公式得到

這樣每個矩形的面積就是

把所有小矩形的面積加起來就是X^n圖形下的面積，其結果取決於r

由費馬引入的幾何級數求和得到

化簡上述表達式，得到

當r無限趨近1時，上述表達式的分母就等於n+1，所以費馬就得到了X^n曲線下的面積，這和微積分公式所得到的結果完全一致


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