根據書的編排，第一冊最後一章講實數集理論，比較枯燥難懂，但是又是前面知識的基石，所以這裡只稍微帶過，有興趣的根據提示去學習
第1節，實數集的稠密性：
兩實數的大小關係的定義與形式構造：通過能唯一表示的無限小數來表示實數並比較大小近似值：包括n位不足近似 和 n位過剩近似近似值的一些性質關於比較兩實數大小的定理實數的稠密性定理及推論
第2節，實數集的完備性
區間套定理及推論，是關於閉區間列{[an，bn]}Heine-Borel有限覆蓋定理Weierstrass聚點定理實數集完備性基本定理的等價性，一些一些定理是等價的，能相互推出1）確界原理；數列極限的基礎2）單調有界定理3）緻密性定理4）柯西收斂準則5）區間套定理6）有限覆蓋定理7）聚點定理
第3節，講上極限與下極限的概念
極限點：有限極限點 和 無限極限點極限點充要條件定理定理：任何數列均有極限點定理：有界數列只有有限極限點，且必有最大極限點和最小極限點上下極限的義定理：任何數列都有上下極限定理：任何有界數列，下極限≤上極限數列極限lim xn = A 的充要條件 xn的上極限=xn的下極限=A數列的上下極限與上下確界的關係定理有限極限的上下極限的充要條件定理
本篇的重點是不定積分
第1節，講原函數與不定積分的概念
設f(x)在區間I上有定義，若存在I上的函數Φ(x)，使對任意x∈I 有 dΦ(x)=f(x)dx 或 Φ`(x)=f(x)，則稱Φ(x)是f(x)在I 上的原函數，f(x)在區間I 上的全體函數稱為f(x)在I 上的不定積分，記作 ∫f(x)dx定理：設Φ(x)是f(x)在區間I上的一個原函數，則對任意實常數C ，Φ(x)+C也是f(x)在I上的一個原函數，且{Φ(x)+C|C∈R}就是f(x)在I上的全部原函數不定積分運算性質-線性性質：設f(x) ,g(x)在I上都有原函數，α，β為兩任意實常數，則αf(x)+βg(x)在I 上也有原函數 且∫[αf(x)+βg(x)]dx =α∫f(x)dx+β∫g(x)dx基本積分公式，絕大部分都是高中學過的，在此不表
第2節，不定積分的計算，方法定理只有兩三種，看似簡單，實質上要多練多做才能掌握各種形式不定積分解答步驟
第一換元積分法-湊微分法定理：設u=φ(x)在[a,b]上可導，α≤φ(x)≤β ，x∈[a,b]，並且g(u)在[α，β]存在原函數G(u)，則f(x)=g(φ(x))φ`(x)在[a,b]也存在原函數F(x),且F(x)=G(φ(x))+C ,C是常數第二換元積分法-變量代換法定理：條件太多不詳細列出了，這裡只列出形式，在滿足相關條件下，∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ`(t)dt = [∫g(t)dt] , t=φ^(-1)(x) = G(φ^(-1)(x))+C分部法求不定積分定理：若u(x) ,v(x)都可導且∫u`(x)v(x)dx 存在，則 ∫u(x)v`(x)dx 也存在，且 ∫u(x)v`(x)dx =u(x)v(x) -∫u`(x)v(x)dx 或 ∫udv = uv - ∫vdu
第3節，有理函數的不定積分，前面的三個定理方法能解決大多數初等函數的不定積分，不過還有些不定積分存在，但是無法用初等函數表示，這就是本節講的有理不定積分
有理函數的一般形式：R(x)=P(x)/Q(x)定理：每個真分式 R(x)=P(x)/Q(x) 可以表示成若干部分分式之和。該定理的證明需要另外兩個引理的引用任何真分式的不定積分最終可以化為如下兩種形式的不定積分：1）∫dx/(x-a)^k = ln |x-a| + C ,k=1 ;1/[(1-k)(x-a)^(k-1)] ,k >12) ∫(Mx + N)dx/[(x^2+px+q)^k ] ,p^2-4q<0對於形如 ∫dx/(x^2 - a^2) 的形式,套公式使用待定係數法三角函數有理式的不定積分：∫ R(sinx,cosx)dx，通常可使用t=tan(x/2) 這個萬能變換去化簡求取形如R(x,√(ax^2+bx+c))的無理根式的不定積分，通常方法是對根式進行配方，然後用三角變換和萬能變換將無理部分變為有理函數來求解。這裡 a>0 ,b^2 - 4ac ≠0。事實上，還可以根據歐拉變換來求解，變換過程為令，√(ax^2+bx+c)=√ax±t ,若c>0，還可以令 √(ax^2+bx+c)=xt ±√c