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作者 | 劉瑞祥
註：本文為第一屆和樂杯數學科普大賽參賽作品，未經授權不得轉載。
七巧板，被外國人稱為「唐圖（tangram）」，是許多兒童喜愛的玩具，也曾經伴隨過拿破崙等名人。從數學的角度看，七巧板也有不少學問，本文就來聊聊七巧板中體現的面積思想。
我們知道，一般的七巧板拼圖，無論圖形怎樣千變萬化，必須使用全部七塊板子，而且不能有重疊部分。顯然，所有這些圖形之間，面積都是相等的。這個結論雖然看起來是很顯然的，但其實我們默認了一系列前提：圖形經過平移、旋轉、翻轉保持不變；彼此全等的圖形面積相等；面積具有可加性……這些前提有的並不那麼顯然。比如，你怎麼知道圖形經過翻轉保持不變？你怎麼知道面積可以相加？這樣追問下去就觸及到了幾何學的基礎問題，限於篇幅和本人能力，無法展開敘述了。好在這些前提的含義都很明顯，至少看上去是沒有什麼問題的，下面讓我們還是先承認這些前提吧——或者用更數學味的話來說，把這些當做公理。
當我們承認這些前提的時候，我們就會發現，即使我們還沒有面積公式，也可以證明七巧板拼出的所有圖形面積是相等的。這是因為，所有這些拼得的圖形，都可以劃分為同樣多的兩組全等形。這樣我們就觸及到了面積理論中的一個重要概念——剖分相等。像七巧板拼圖這樣，兩個面積相等的圖形，如果能夠把其中一個分成有限的幾部分後重新拼成另外一個圖形，就稱這兩個圖形面積剖分相等。
你應該已經會把一個長寬比為 2:1 的長方形切割後拼成一個大正方形，但如果讓你用七巧板實現這個變化呢？前提是不許割裂七塊板子中的任意一塊。這個問題其實很簡單，甚至解法不止一種。
如果你想證明七巧板中的正方形和平行四邊形面積相等，你同樣不必把這兩塊板子真的剖開，因為幸運的是我們有兩個最小的等腰三角形可以利用：
讓我們再看另外一種證明：下面圖形中，左邊是正方形加上等腰直角三角形，右邊圖是平行四邊形加上同樣的三角形，最後得到的是兩個大的全等形，因此我們可以判定，這裡的正方形和平行四邊形面積相等。顯然，這裡我們是在原圖形的基礎上分別加上同樣（有限）多的兩組全等形之後變成大的全等形。像這樣的面積相等，就叫做拼補相等。
我們利用剖分相等和拼補相等兩種方法證明了前面的平行四邊形和正方形面積相等，下面讓我們離開七巧板，回到通常的數學上來。你還記得你的數學老師是怎麼給出平行四邊形面積公式的嗎？是不是像下面左邊圖示一樣？很遺憾，這個證明是不嚴謹的，它無法證明下面右邊這種情況。換句話說，我們數學課上只證明了一部分平行四邊形和等底等高的矩形面積剖分相等。因此對於一般情況下面積的證明，需要另闢蹊徑，這讓我們想到了拼補相等的概念。
下面圖中給平行四邊形
剖分相等和拼補相等這兩個概念，並不是很久遠的東西。1899 年著名數學家希爾伯特在其名著《幾何基礎》中才明確了這兩個概念，並且證明了下面的結論：任何兩個面積相等的（直線型）圖形，一定拼補相等，也一定剖分相等。這比《幾何原本》兩千多年的歷史來根本不算什麼——甚至遠在微積分誕生之後了。
把面積相等分為「拼補相等」和「剖分相等」，並不是數學家沒事找事。首先來說，後者的成立理由比前者要麻煩一點，因為它還需要一條公理作為前提——任給兩條線段，總存在一個正整數
本文部分資料來自網絡，並得到蔣迅老師的幫助，特此感謝。
參考資料
《幾何原本》，歐幾裡得著，蘭紀正、朱恩寬譯，譯林出版社，2014；《幾何基礎》，希爾伯特著，江澤涵、朱鼎勳譯，北京大學出版社，2009；《從趙爽弦圖談起》，李文林著，高等教育出版社，2005。