一般三角形中的正弦定理和餘弦定理

2020-12-10 小朱與數學

最初學習的三角函數是在直角三角形中為了表示邊長之間的關係而定義的。後來隨著角度定義的擴展，三角函數的定義範圍也擴充了，將其角度擴展到了任意2角。現在我們利用三角函數作為工具來分析一般的三角形。

一般三角形的正弦定理

在一般形狀的三角形ABC中的其中一個頂點向對邊作垂線，可形成兩個直角三角形，在這兩個三角形中，根據直角三角形中斜邊與直角邊的關係，可得

這就是一般三角形中的正弦定理，它表示了邊和對角之間的比例關係。

一般三角形的餘弦定理

假設我們將三角形ABC的三條邊看作向量，其中向量a和向量b的夾角即為角C，向量c為a、b之差

將上述等式平方可得

因為三條邊可以任意組合，同理證明可得

此三個等式就是三角形中的餘弦定理，它的意義是一個邊長可以表示成另外兩個邊長的表達式。當角度為π/2時，餘弦定理就變成了勾股定理，可以將勾股定理看成餘弦定理的特殊情況。

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