1、正弦定理和餘弦定理
2、正弦定理和餘弦定理
3、實際問題中的常用角
常用結論
常用結論
利用正、餘弦定理解三角形
思考已知怎樣的條件能用正弦定理解三角形?已知怎樣的條件能用餘弦定理解三角形?
解題心得
1.已知兩邊和一邊的對角或已知兩角和一邊都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多樣,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C能夠實現邊角互化.
2.已知兩邊和它們的夾角、已知兩邊和一邊的對角或已知三邊都能直接運用餘弦定理解三角形,在運用餘弦定理時,要注意整體思想的運用.
3.已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據三角函數值的「有界性」和「大邊對大角」進行判斷.
判斷三角形的形狀
思考判斷三角形的形狀時主要有哪些方法?
解題心得判斷三角形的形狀時主要有以下兩種方法:
(1)利用正弦定理、餘弦定理把已知條件轉化為邊邊關係,通過因式分解、配方等得出邊的相應關係,從而判斷三角形的形狀;
(2)利用正弦定理、餘弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數之間的關係,通過三角恆等變換,得出內角的關係,從而判斷出三角形的形狀,此時要注意應用A+B+C=π這個結論.
正、餘弦定理與三角變換的綜合問題
思考在三角形中進行三角變換要注意什麼?
解題心得1.在三角形中進行三角變換要注意隱含條件:A+B+C=π,使用這個隱含條件可以減少未知數的個數.
2.在解三角形問題中,因為面積公式中既有邊又有角,所以要和正弦定理、餘弦定理聯繫起來;要靈活運用正弦定理、餘弦定理實現邊角互化,為三角變換提供條件.
正、餘弦定理在生活中的應用
思考利用正、餘弦定理解決實際問題的一般思路是什麼?
解題心得利用正弦定理、餘弦定理解決實際問題的一般思路:
(1)實際問題經抽象概括後,已知量與未知量全部集中在一個三角形中,可用正弦定理或餘弦定理求解;
(2)實際問題經抽象概括後,已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形,這時需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,再逐步求解其他三角形,有時需設出未知量,根據條件列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.
要點歸納小結
1.正弦定理和餘弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關係轉化為角的關係或邊的關係.
2.在已知關係式中,既含有邊又含有角,通常的解題思路:先將角都化成邊或將邊都化成角,再結合正弦定理、餘弦定理即可求解.
3.在△ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理時,會出現解的不確定性,一般可根據「大邊對大角」來取捨.
4.在解三角形中,三角形內角和定理起著重要作用,在解題中要注意根據這個定理確定角的範圍,確定三角函數值的符號,防止出現增解等擴大範圍的現象.
5.在判斷三角形的形狀時,等式兩邊一般不要約去公因式,應移項提取公因式,以免漏解.
常見數學模型
解題心得求解高度問題的三個關注點
(1)在處理有關高度問題時,理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關鍵.
(2)在實際問題中,可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題,這時最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.
(3)注意山或塔垂直於地面或海平面,把空間問題轉化為平面問題.
解題心得
1.測量距離問題,無論題型如何變化,即兩點的情況如何,實質都是要求這兩點間的距離,無非就是兩點所在三角形及其構成元素所知情況不同而已,恰當地畫出(找出)適合解決問題的三角形是解題的基礎,將已知線段長度和角度轉化為要解的三角形的邊長和角是解題的關鍵.
2.處理距離問題的策略
(1)選定或確定要創建的三角形,首先確定所求量所在的三角形,若其他量已知則直接求解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解.
(2)確定用正弦定理還是餘弦定理,如果都可用,就選擇更便於計算的定理.
解題心得
1.解決角度問題的注意事項
(1)測量角度時,首先應明確方位角及方向角的含義.
(2)求角的大小時,先在三角形中求出其正弦或餘弦值.
(3)在解應用題時,要根據題意正確畫出示意圖,通過這一步可將實際問題轉化為可用數學方法解決的問題,解題中也要注意體會正、餘弦定理「聯袂」使用的優點.
2.測量角度問題的基本思路
測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上,畫出表示實際問題的圖形,並在圖形中標出有關的角和距離,再用正弦定理或餘弦定理解三角形,最後將解得的結果轉化為實際問題的解.