問題探究：
直線y=-1/3 x+2與直線y=3x+2的位置關係是什麼？如何證明你的結論？請你試一試。
這兩條直線呈垂直關係，同學們很容易發現。如何證明呢？大部分同學都陷入了迷茫和不知所措（他們陷在函數問題中無法自拔），部分孩子得到了靈感，開始奮筆疾書（他們跳脫了函數問題，將其轉化為幾何問題中如何求證兩條直線垂直）。
這兩條直線呈垂直關係，同學們很容易發現。如何證明呢？大部分同學都陷入了迷茫和不知所措（他們陷在函數問題中無法自拔），部分孩子得到了靈感，開始奮筆疾書（他們跳脫了函數問題，將其轉化為幾何問題中如何求證兩條直線垂直）。於是，我收集了孩子們的解題方法：
如圖1，正比例函數l：y＝kx和l：y＝kx的圖像相互垂直，分別在l和l上取點A，B，使得AO＝BO．分別過點A，B作x軸的垂線，垂足分別為點C，D．顯然，△AOC≌△OBD．設OC＝BD＝a，AC＝OD＝b，則A（﹣a，b），B（b，a）．於是k＝﹣b/a，k＝a/b，所以kk的值為一個常數-1．
一般地，一次函數y＝kx+b，y＝kx+b可分別由正比例函數l， l平移得到．所以，我們經過探索得到的結論是：任意兩個一次函數y＝kx+b，y＝kx+b的圖象相互垂直，則kk的值也為一個常數-1．
利用探究這一結論，可以快速解決兩直線垂直問題，尤其對於直角三角形存在性難題有種暴力解題味道，易於入手。
類型1 求解直角問題或直角三角形存在性問題
例1．（2018秋農安縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），並且OA＝OC＝4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在AC上方的拋物線上有一動點G，如圖，當點G運動到某位置時，以AG，AO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上，求出此時點G的坐標；
（3）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．
【解析】（1）由點A的坐標及OA＝OC＝4OB，可得出點B，C的坐標，根據點A，B，C的坐標，利用待定係數法即可求出拋物線的解析式y＝-x +3x+4（a≠0）；
（2）由二次函數的解析式利用二次函數的性質可得出拋物線的對稱軸，由AO的長度結合平行四邊形的性質可得出點G的橫坐標，再利用二次函數圖象上點的坐標特徵，即可求出點G的坐標為（7/2，9/4）．；
（3）方法1：（直角三角形存在性問題幾何解法）假設存在，設點P的坐標為（m，﹣m+3m+4）．∵點A的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，4），
分兩種情況考慮，如圖2所示．
①當∠ACP＝90°時，PC⊥AC,利用兩直線PC、AC斜率之積為-1，
【（﹣m+3m+4）-4】/(m-0) ·(4-0)/(0-4)=-1, 整理得：m ﹣2m＝0，
解得：m ＝0（捨去），m ＝2，∴點P的坐標為（2，6）；
②當∠PAC＝90°時，AP⊥AC,利用兩直線AP、AC斜率之積為-1，
整理得：m2﹣2m﹣8＝0，
解得：m ＝﹣2，m ＝4（捨去），∴點P的坐標為（﹣2，﹣6）．
綜上所述，假設成立，即存在點P（2，6）或（﹣2，﹣6），使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．
方法2：（直角三角形存在性問題代數解法）假設存在，設點P的坐標為（m，﹣m+3m+4）．
∵點A的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，4），
∴AP ＝（m﹣4）+（﹣m +3m+4﹣0）＝m ﹣6m +2m +16m+32，CP ＝（m﹣0）+（﹣m +3m+4﹣4）＝m ﹣6m +10m ，AC ＝（0﹣4）+（4﹣0）＝32．
分兩種情況考慮，如圖2所示．
①當∠ACP＝90°時，AP ＝CP +AC ，
即m ﹣6m +2m +16m+32＝m ﹣6m +10m+32，
整理得：m ﹣2m＝0，
解得：m ＝0（捨去），m ＝2，
∴點P的坐標為（2，6）；
②當∠PAC＝90°時，CP ＝AP +AC ，
即m ﹣6m +10m ＝m ﹣6m +2m +16m+32+32，
整理得：m2﹣2m﹣8＝0，
解得：m ＝﹣2，m ＝4（捨去），
∴點P的坐標為（﹣2，﹣6）．
綜上所述，假設成立，
即存在點P（2，6）或（﹣2，﹣6），使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．
牛刀小試：1.（2018秋宜興市期末）如圖，二次函數y＝ax ﹣2ax+c的圖象交x軸於A、B兩點（其中點A在點B的左側），交y軸正半軸於點C，且OB＝3OA，點D在該函數的第一象限內的圖象上．
（1）求點A、點B的坐標；
（2）若△BDC的最大面積為27/4平方單位，求點D的坐標及二次函數的關係式；
（3）若點D為該函數圖象的頂點，且△BDC是直角三角形，求此二次函數的關係式．
【解析】（1）函數的對稱軸為：x＝﹣b/2a＝1，OB＝3OA，即可求解點A、B的坐標為（﹣1，0）、（3，0）；
（2）由S△BDC＝1/2DEOB，即可求解二次函數表達式為：y＝﹣2x +4x+6；
（3）分∠DCB＝90°和∠CDB＝90°兩種情況，求解即可．
（3）點B、C、D的坐標分別為（3，0）、（0，﹣3a）（1，﹣4a），
類型2 矩形存在性問題
例2（2018遼陽中考題）如圖，直線y＝x﹣3與坐標軸交於A、B兩點，拋物線y＝1/4x +bx+c經過點B，與直線y＝x﹣3交於點E（8，5），且與x軸交於C，D兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上有一點M，當∠MBE＝75°時，求點M的橫坐標；
（3）點P在拋物線上，在坐標平面內是否存在點Q，使得以點P，Q，B，C為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）直線y＝x﹣3與坐標軸交於A、B兩點，則A（3，0）B（0，﹣3），把B、E點坐標代入二次函數方程，解得：拋物線的解析式y＝1/4x ﹣x﹣3；
（2）當∠MBE＝75°時，如下圖所示，分M在x軸上和x軸下分別求解即可；
即：點M的橫坐標4﹣4√3或（12-4√3）/3．
（3）存在．
①當BC為矩形對角線時，矩形BP′CQ′所在的位置如圖所示，
設：P′（m，n），n＝1/4m ﹣m﹣3，
這兩個點分別和點B、C重合，
與題意不符，故：這種情況不存在，捨去．
②當BC為矩形一邊時，
情況一：矩形BCQP所在的位置如圖所示，
直線BC所在的方程為：y＝1/2x﹣3，
則：直線BP的k為﹣2，所在的方程為y＝﹣2x﹣3，
聯立直線BC, 直線BP解得點P（﹣4，5），則Q（2，8），
情況二：矩形BCP″Q″所在的位置如圖所示，
此時，P″在拋物線上，其坐標為：（﹣10，32），Q″坐標為（﹣16，29）．
故：存在矩形，點Q的坐標為：（2，8）或（﹣16，29）．
類型3 用於菱形存在性問題
例3．（2018秋金牛區期末）如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交於A，B兩點，A點坐標為（﹣3，0），與y軸交於點C，點C坐標為（0．﹣6），連接BC，點C關於x軸的對稱點D，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線於點Q，交直線BD於點M．
（1）求二次函數解析式；
（2）點P在x軸上運動，若﹣6≤m≤2時，求線段MQ長度的最大值．
（3）點P在x軸上運動時，N為平面內一點，使得點B、C、M、N為頂點的四邊形為菱形？如果存在，請直接寫出點N坐標；不存在，說明理由．
【解析】（1）把A點坐標為（﹣3，0）、點C坐標為（0，﹣6）代入二次函數表達式，解得：a＝1，c＝﹣6，故：二次函數解析式為y＝x2+x﹣6；
（2）點C關於x軸的對稱點D（0，6），
點B、D坐標所在的直線方程為：y＝﹣3x+6，
在﹣6≤m≤2時，函數頂點處，取得最大值，
即MQ的最大值為16；
（3）①當BC邊為菱形的邊時，
情況一：N點應該在x軸，關於B點對稱，即點N坐標為（﹣2，0），
情況二：BC、MB是菱形兩條鄰邊，且BC＝BM，則點N坐標為（2，﹣12），
情況三：BC、CM為鄰邊時，則點N坐標為（7.2﹣3.6）；
②當BC邊為菱形的對角線時，作BC的垂直平分線MH，
則直線DB與MH的交點為M，M關於BC的對稱點為N，H為BC的中點，
∴H坐標為（1，﹣3），
直線BD的方程為：y＝﹣3x+6，直線MH的方程為：y＝﹣1/3x﹣8/3，
聯立以上兩個方程，解得：M坐標為（13/4，﹣15/4），
同理得N坐標為（﹣5/4，﹣9/4），
故：N坐標為（﹣5/4，﹣9/4）或（﹣2，0）或（7.2﹣3.6）或（2，﹣12）；．
類型4 用於求函數最值問題
例4．（2018秋沙坪垻區校級月考）如圖，拋物線y＝ax+bx+c（a≠0）與x軸交於點A（﹣1，0）和點B，與y軸交於點C，點C關於拋物線對稱軸的對稱點為點D，拋物線頂點為H（1，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為直線AD上方拋物線的對稱軸上一動點，連接PA，PD．當S△PAD＝3，若在x軸上存在一動點Q，使PQ+√5/5QB最小，求此時點Q的坐標及PQ+√5/5QB的最小值；
【解析】（1））由拋物線的頂點為H（1，2），可以假設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）+2，把A（﹣1，0）代入得到，a＝﹣1/2，即y＝﹣1/2x +x+3/2；
（2）如圖1中，連接PA，PD，在y軸上取一點M（0，﹣3/2），連接BM，作QN⊥BM於N．設AD交對稱軸於K．首先證明QN＝√5/5BQ，推出PQ+√5/5BQ＝PQ+QN，根據垂線段最短可知，當HN⊥BM，且P，Q，N共線時，PQ+√5/5BQ的值最小，最小值＝線段PN的值；
∵直線BM的解析式為y＝1/2x﹣3/2，
∴當PN⊥BM時，直線PN的解析式為y＝﹣2x+5，此時Q（5/2，0），
反思：因為初中課本內容很基礎很簡單，而中考題有一定難度，學生學習了課本上的公式和定理，卻解不出千變萬化的中考試題，好比樹上的蘋果太高，學生無論怎樣跳也夠不著。 如果平時學習中經常做這樣探究活動，從浩如煙海的中考真題，模擬題中提煉出解題的規律和方法，才能真正明了隱藏在試題背後的秘密。這些規律和結論好比一架梯子，可以讓學生站在更高的平臺上將「蘋果」輕鬆摘下來。利用這些結論不僅可以實現快速解題， 同時可以對試題一題多解，豐富同學們的解題思路。