微專題:探索三角形內切圓和外接圓的半徑

2021-12-29 VOA數學

最近我們學習了圓的相關內容，其中圓與三角形有兩種特殊的位置關係，從而導致圓的半徑與三角形三邊有著密切的聯繫。讓我們來共同探三角形外接圓與內切圓的半徑與三角形三邊的關係！



（1）三角形內切圓

三角形內切圓：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，圓心叫做三角形的內心，三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點。

 

 

（2）三角形外接圓

三角形的外接圓：與三角形各頂點相交的圓叫做三角形的外接圓，圓心叫做三角形的外心，三角形叫做圓的內接三角形，三角形的外心是三角形的垂直平分線的交點。

我們在計算三角形的內切圓半徑時，採用等面積思想。對於特殊的三角形如直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的面積比較容易求出，而對於普通任意三角形的面積如何求解呢？海倫給出了巧妙的回答。接下來由園外初三（1）日新班巢同學給大家來介紹海倫公式及推導過程！

海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式。它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式。

海倫公式S表達式為：（p為周長半徑）

證明如下：如圖，已知BC=a,AC=b,AB=c,過點A作ADBC交BC於點D。根據勾股定理求出高h 即可。

一、等邊三角形的內切圓、外接圓半徑

由於等邊三角形「三線合一」，因此，等邊三角形的外心和內心重合。設內切圓半徑為r，外接圓半徑為R。

           

二、直角三角形的內切圓、外接圓的半徑


（1）直角三角形外接圓半徑

如圖，直角三角形圓的外接圓圓心在斜邊的中點，因此外接圓半徑R=1/2r

（2）直角三角形內切圓半徑

易知四邊形CEDG為正方形，設直角三角形內切圓半徑為r，則CE=CG=r,由切線長定理得AF=AE=b－r,BF=BG=a－r,則b－r+a－r=c,則內切圓半徑：

相關焦點

  • 三角形外接圓半徑R≥內切圓直徑2r
    本公眾號才是良好的交流平臺和文明的生態環境。設三角形外接圓半徑為R，內切圓半徑為r。那麼有結論：本期提供兩種證明方法。第一種證法利用歐拉公式，即外接圓圓心（外心）與內切圓圓心（內心）距離的平方等於外接圓半徑的平方減去外接圓半徑與內切圓半徑乘積的2倍：
  • 尺規作三角形的內切圓、外接圓,內切圓的半徑難找? - 熊二的日常分享
    必備知識尺規作三角形外接圓、內切圓，必備的作圖基礎是要會畫角的平分線、過點作線的垂線、線段的垂直平分線，還不會的畫的同志可以看看下邊這個連結裡面描述的作圖步驟及其作圖依據。BC的垂直平分線②選一半徑R>1/2AC ，分別以A、C為圓心畫圓弧交於兩點，過兩個點的直線就是AC的垂直平分線①②所得的兩條直線的交點O就是三角形外接圓的圓心（2）確定半徑，作圓：以圓點到三角形某一頂點的距離為半徑長作圓
  • 初中數學,中考選擇題考點——三角形內切圓和外接圓的有關性質
    第四步：過點O作OD垂直BC，垂足為D點，如下圖：第四步：以點O為圓心，OD長為半徑作圓O，即為所求的圓，如下圖：通過上面的作圖，可得到以下結論：１、三角形內切圓的概念：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓；
  • AutoCAD教你一招,做一個三角形的外接圓和內切圓!
    嗨嘍各位小夥伴，今天又和大家見面了。今天上班時候遇到了一個小問題，就是突然發現自己做不了三角形的外接圓了，搗鼓了半天，只能求助對面的研究生妹妹。果真實力碾壓，小妹妹一句話，直接就醍醐灌頂，大徹大悟。剛剛說到的這個問題估計好多小夥伴也在懵逼之中，那麼接下來小編就帶著大家重溫一下三角形內切圓和三角形外接圓的畫法。首先，打開我們的寶貝CAD軟體。今天突然想起來一個小故事，小帥哥和女盆友一起逛街，小女友突然拉了一下小帥哥的衣服，小帥哥說：「能不能不要拽我的衣服？」這個小女友一看，哎呦，怎麼了啦，拽你衣服不行啊，還這麼兇，就說道，你就不能加個「寶貝」。
  • 九年級上學期,三角形內切圓半徑的推導,與面積、周長相關
    本篇文章主要介紹三角形內切圓半徑的推導過程，三角形內切圓的半角與三角形的周長和面積相關。我們首先要知道三角形的內心是如何確定的，三角形的內心是三個角角平分線的交點，內心到三角形三邊的距離相等，那麼怎麼得到一般三角形內切圓的半徑呢？
  • 初三數學,老師:用實例解析三角形內切圓、外接圓性質的運用方法
    三角形內切圓和外接圓的性質是初三數學的重要知識點，利用這些性質可以解決關於圓的幾何證明計算題，本文就例題詳細解析這類題型的輔助線作法和解題思路，希望能給初三學生的數學學習帶來幫助。例題1如圖，在△ABC中，I是內心，O是邊AB上一點，⊙O經過點B且AI相切於點I。
  • 2020初三數學複習:從內切與外接角度看三角形、四邊形與圓的關係
    今天，我們用一個單元來研究在三角形、四邊形與圓的位置關係中，全國各地近八年呈現出來的中考真題情況。三角形與圓的位置關係是研究四邊形與圓的位置關係、多邊形與圓的位置關係的基礎，其關係呈現為三角形的內切圓（內心），三角形的外接圓（外心）。
  • 九年級上學期，三角形內切圓半徑的推導，與面積、周長相關
    本篇文章主要介紹三角形內切圓半徑的推導過程，三角形內切圓的半角與三角形的周長和面積相關。角平分線的交點，內心到三角形三邊的距離相等，那麼怎麼得到一般三角形內切圓的半徑呢？而AB+BC+AC是三角形的周長，可用C或l來表示，即s=1/2lr，那麼r=2s/l。這個公式中的字母與扇形的面積公式一樣，因此，可以通過記住扇形的面積公式來記住三角形內切圓的半徑公式。當然，可以發現，推導過程也並沒有很繁瑣，利用了內心的性質和等面積法即可得到。
  • 彭賽列閉合定理背景下的圓錐曲線內接三角形之內切圓半徑問題
    彭賽列閉合定理背景下的圓錐曲線內接三角形之內切圓半徑問題   河北省張家口市    趙彥青  趙永明浙江溫州    陳佳文解析：依題意，圓C2 圓心位置和半徑大小確定，△PAB既是拋物線的內接三角形又是這個圓的外切三角形
  • 正多邊形外接圓與內切圓形成的圓環,它的面積是多少,看下文
    初中數學，圓環是有兩個同心的圓所構成，那麼關於圓環的面積，相信大家都知道該如何求解，那麼關於正多邊形的外接圓與內切圓所形成的圓環，它的面積是多少呢，有什麼規律呢。今天為就大家講講。首先，我們來分析一下正三角形的外接圓與內切圓所形成圓環的面積。如圖，設邊長為1的正△ABC，求△ABC的外接圓與內切圓形成圓環的面積。
  • 三角形內切圓半徑 (高二、高三適用)
    註：（1）由橢圓的定義知⊿PF1Q周長為定值4a，此時，由等積法知以內心為頂點，將三角形分為三塊，面積為周長乘內切圓半徑的二分之一，周長為定值，則三角形面積最大時，內切圓半徑也最大。一、通過訓練可以鑄就天才1、人人都可以是莫扎特經過訓練，可以獲得和天才一樣的表現。而莫扎特的天賦也是訓練的結果。案列：日本心理學實驗「一年訓練時間讓24個幼兒具備和莫扎特一樣的完美音高」2、 為什麼天才不是天生的對傳統認知的顛覆：通過高強度訓練，能夠改造身體和大腦，產生像天賦一般的奇蹟能力，從而鑄就天才。
  • 中考總複習:圓的專題複習-圓的性質及與圓有關的位置關係考點分析
    (1)不在同一直線上的三點確定一個圓．(2)經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形．2．直線和圓的位置關係：相離；相切；相交．3．圓和圓的位置關係：外離、外切、相交、內切、內含．
  • grasshopper_多邊形多半徑內切圓
    其實整體思路還是挺有意思的，而且一旦用grasshopper解決了該問題，就可以生成其他多邊形的內切圓效果了，其中由於輸入參數有限，借用了遺傳算法Galapagos進行解決。
  • 給出邊和角的關係求△ABC內切圓半徑?根據內心特點求半徑?太複雜
    若AB=2,AD=2DC,BD=4√3/3，求△ABC內切圓半徑r的值。這道題可以根據三角形的面積公式去求解，即公式S=1/2 Lr，這裡的r就是三角形內切圓半徑，L是三角形的周長，S是該三角形的面積。所以想要求出該三角形的半徑，只需要求出該三角形的面積和該三角形周長即可。
  • 2020年四川省中考數學壓軸題:外切圓問題,解題要抓關鍵點
    一、定義1、外接圓：與多邊形各頂點都相交的圓bai叫做多邊形的外接圓，通常是針對一個凸多邊形來說的，如三角形，若一個圓恰好過三個頂點，這個圓就叫作三角形的外接圓，此時圓正好把三角形包圍。3、內接圓：通常是針對另一個圓來說的，如果一個圓在另一個大圓的內部，兩個圓只有一個公共點，這個圓就叫作大圓的內接圓。4、外切圓：外切圓是針對另一個圓來說的，如果兩個圓只有一個公共點，且圓心的距離等於兩個圓半徑的和，這兩個圓互為外切圓。兩圓外切時，有3條公切線。
  • 求直角三角形內切圓半徑,巧用公式快捷簡便
    直角三角形內切圓與直角三角形三邊關係，可以用上圖中的例題來解析證明。直角△ABC及內切圓圓O，根據切線長定理，易得AE=AD，BE=BF，CD=CF，已知∠ABC=90°，OE⊥AB，OF⊥BC，OE=OF=半徑r，易知四邊形OEBF為正方形，若設直角三角形三邊分別為abc，由以上條件易推出r=a+b—c/2。
  • 初中數學必刷好題021-直角三角形內切圓和旁切圓經典模型+結論
    掌握直角三角形的內切圓和旁切圓經典模型+結論，可以幫助我們在遇到和此模型有關的題目時快速利用結論得出答案，大大提高解題效率。在學習直角三角形內切圓和旁切圓的模型和結論之前，先看看一個熱身題，看看你多少秒可以得出答案。
  • 是否存在三邊為連續正整數且外接圓半徑為整數的三角形?
    【華二——2014壓軸題】是否存在三邊為連續正整數且外接圓半徑為整數的三角形？ 此題可作為經典的反證法例題。整體解題思路清晰：先假設存在這樣的三角形，若能推出矛盾，則假設不成立，所以不存在這樣的三角形；若不能推出矛盾，則假設成立，存在這個的三角形，並且可根據邊長與半徑間的關係求出三角形的三邊長。 在這個問題當中，根據題目條件，可先將三角形的三邊設為n-1、n、n+1。接著就來到了這個題目的第一個坎：如何用n表示外接圓半徑？
  • 高考數學:三角形ABC三邊長分別為3,5,7,該三角形外接圓半徑?
    高考數學：已知三角形ABC三邊長分別為3，5，7，該三角形外接圓半徑？解答：解：可設△ABC的三邊分別為a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC=（a的2次方+b的2次方c的2次方）除以2ab=（9+2549）除以（2×3×5）=-0.5可得sinC=√1cos的2次方C=√3除以2可得該三角形的外接圓半徑為
  • 神奇的內切圓
    觸摸標題下面一行中「北京 邵勇」後面的藍字「數學教學研究」, 關注本微信公眾號