思維訓練10.投影法求異面直線之間的夾角

2021-02-08 曹老師的高中數學課

在高二立體幾何學習中考查異面直線夾角時，學生用的方法最常見的是將兩條異面直線平移到同一個面內，利用三角函數求正弦或餘弦值，當然此類問題也可以用空間向量來做，但是利用空間向量來解是將一個幾何問題完全轉化為一個不需要動腦的純數學運算問題，但是在教學中遇到一類問題：即在所給的幾何體內無法將兩條異面直線平移到同一個平面內，此時又該如何求解，例如在下圖正方體內，點M，N分別為所在稜長的中點，求異面直線AM和CN所成夾角的餘弦值

如果不用向量也不對正方體進行增補，如何求？有的同學會犯如下錯誤：把AM和CN投設到地面你ABCD上，此時AM對應的AB所在的直線，CN對應CB，又因為AB和BC垂直，所以異面直線AM和CN所成角為90°，但是用向量求解時發現夾角並不是90°。

想法是好的，如果利用這個想法如何求夾角呢，注意如果將AM，CN投射到底面上，此時除了異面直線的夾角，還有AM與底面的夾角，CN與底面的夾角，以及底面兩條投影之間的夾角，所以這四個角到底有什麼關係。

在此引入數學中一個定義：三面角餘弦定理，關於該定義的解釋和證明方法有興趣的可以自行百度，在此不給出，下面以一個例子說明這四個角之間的等式關係：

將兩條異面直線平移到一個交點O,OA在底面上的投影為OC，BO在底面上的投影為OD，選取OC所在的直線為第三條線，此時OA，OB，OC可構成三角面，利用三角面餘弦定理有如下過程：

所以從上述過程中可以得到兩條異面直線之間的夾角與各自與第三個面的夾角以及在第三個面內投影之間的夾角的關係：

所以根據這個我們就可以利用投影法來解決異面直線不能平移到同一個面內的問題。

例1.一開始的案例：

將兩條異面直線投射到底面上，設正方體的稜長為2，線段AM和CN與底面夾角的正弦值很容易求得，注意到AM在底面上的投影為AB，CN與底面的投影為BC，且AB⊥BC，所以兩條投影之間的夾角的餘弦值為0，所以計算異面直線夾角的餘弦值直接就等價於兩條異面直線與底面夾角正弦值的乘積。

據此得出一個常用結論：如果異面直線在同一面上的投影垂直，則異面直線夾角的餘弦值就等於兩條異面直線與投影面夾角的正弦值的乘積。

例2.如下圖中正方體中，點M是稜DD1的中點，點O為底面ABCD的中心，點P為稜A1B1上任意一點，求直線OP與直線AM之間所成角的餘弦值

解析：點P為A1B1上運動，無論點P在哪個位置，OP在左側面上的投影均為O'A1,此時發現AM和O'A1之間的夾角為90°，所以此時直線OP和AM所成角的餘弦值就等於OP與左側面夾角的餘弦值，考慮到AM就在左側面上，所以AM與左側面的夾角為0，正弦值也為0，所以可知異面直線OP和AM之間夾角的餘弦值等於0，所以兩條直線的夾角為90°。


利用三面角餘弦定理不僅可以處理異面直線的夾角，還可以很快的處理二面角的餘弦值，關於二面角餘弦值的求法，以後再給出。

購買高中數學複習資料，請點擊左下角閱讀原文進入微店

相關焦點

  • 投影法求異面直線之間的距離
    7.射影法，還算不錯的方法，簡單易懂今天說到的射影法用到了上面的轉化法，若異面直線a,b，其中b∈平面β，且a//β，則a到平面β的距離即為所求異面直線距離，若a∈平面α，b∈平面β，且α//β，則兩平面之間的距離即為所求異面直線的距離。
  • 2020年高考複習立體幾何專題訓練1|半徑|夾角|正投影|定理_網易訂閱
    這種題目算是最讓人頭疼的一類問題，一個小題可以拆分成四個小題來做，很容易漏選或多選，做此類問題時經常需要考慮極端位置情況，第一小問中B,D兩點是前後兩個面的不同側的端點，很明顯可知當直線分別為前後兩個面的對角線時
  • 高考高頻考點之異面直線的夾角問題!常用方法平移法,向量法!
    平移法用平移法求異面直線所成的角的步驟(1)一作：即根據定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系；(2)確定異面直線上兩個點的坐標，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的餘弦值；(4)兩異面直線所成角的餘弦等於兩向量夾角餘弦值的絕對值
  • 射影法求異面直線之間的距離
    異面直線之間的距離不是高考中明確要求要考的內容，課本上也沒有對應的內容，但與立體幾何有關的最值問題中卻經常出現，在一些難度中上的高二立體幾何同步課測試中也會出現，求異面直線距離的方法較多，羅列如下：1.定義法，找公垂線
  • 射影法求異面直線之間的距離
    5.公式法，太複雜，記不住6.極值法，原理是異面直線之間公垂線最短，用函數的思想去解，屬於知道就可以型。7.射影法，還算不錯的方法，簡單易懂今天說到的射影法用到了上面的轉化法，若異面直線a,b，其中b∈平面β，且a//β，則a到平面β的距離即為所求異面直線距離，若a∈平面α，b∈平面β，且α//β，則兩平面之間的距離即為所求異面直線的距離。
  • 求夾角的簡便方法
    前言：夾角的求法歷來比較繁瑣，需要構建3D直線，再投影到固定平面，再用元素夾角求得。本例教大家一個簡便方法。
  • 高考數學:立體幾何異面直線夾角—除了建系做,看看學霸如何秒殺
    立體幾何中的高考高頻題型——求異面直線的夾角屬於中檔題，通常的做法是建系求解，這樣易於操作，但耗時稍長。在高考考場上惜時如金，如果能更快的解答這類題，就可以取得更大的心理優勢，減少潛在的失分，多得分。下面將求異面直線所成角三種方法歸納如下。一、求異面直線夾角之向量法①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的餘弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的餘弦取絕對值即為直線所成角的餘弦值.
  • 直線與直線之間有什麼位置關係?
    一、前言在這之前已經講了平面是什麼以及相關的基礎知識，然後在最開始作者要讀者牢記以面成體這幾個字，這說明平面是二維，立體是三維，那麼當我們討論點線面之間的位置關係的時候，就需要說明是在那種情況下。二、直線與直線的位置關係1）二維平面首先我們討論的就是在二維平面中，並且是在同一平面中，兩條直線的位置關係有哪幾種？大家能說出來嗎？
  • 快樂說數:空間中直線與直線之間的位置關係
    學好數學大致能分為三個步驟：第一，梳理好知識點；第二，學好各種題型；第三：針對所學知識訓練鞏固。現在我們來看今天要學的內容，先看下邊空間中直線與直線之間的位置關係的思維導圖：接著我們針對空間中直線與直線之間的位置關係展開來講，首先是知識梳理：知識點一　空間中兩條直線的位置關係知識點二　公理4(平行公理)
  • 基於平面投影的起重機吊裝碰撞檢測方法
    圖7 吊裝物和障礙在Z 軸方向的碰撞示意圖2.2 起重機臂架和障礙物的碰撞檢測根據前面所講，障礙物投影只考慮圓形和矩形2 種情況，起重機臂架和障礙物之間的碰撞檢測分為直線與圓和直線與矩形的相交檢測兩類。
  • 如圖△CDE重心為G,咋確定G點求出AG與面ABCD夾角正弦值?須知這些
    第二問第二問是求直線AG與平面ABCD所成角的正弦值，該問需要用向量的方法將G點坐標表示出來，從而求出向量AG，然後再通過求出面ABCD的法向量，根據向量之間的夾角來求出該直線AG與面ABCD的所成角的正弦值。第一步，建立空間直角坐標系。
  • 高中數學專題訓練――直線及平面垂直,學霸必須掌握的,期末必考
    編首語：下周高中即將期末考試了，高一數學的考試除了考必修一的知識外，還考查了必修二的知識，必修二的知識主要是平面幾何和直線與直線的關係。加油在必修二的知識中，平面幾何是多數學生感覺比較困難的知識，本文通過直線、平面垂直的專題訓練，去研究平面幾何在考試中的題型和證明，希望能夠對下周的老師當中有利。
  • 三種方位角之間的關係
    由磁子午線方向的北端起，順時針量至直線間的夾角，稱為該直線的磁方位角，用Am表示。（3）坐標方位角。由坐標縱軸方向的北端起，順時針量到直線間的夾角，稱為該直線的坐標方位角，常簡稱方位角，用α表示。【三種方位角之間的關係】因標準方向選擇的不同，使得同一條直線有三種不同的方位角，三種方位角之間的關係如圖4-19所示。Ａ12 為真方位角，Am12為磁方位角，α12為坐標方位角。過1點的真北方向與磁北方向之間的夾角稱為磁偏角（δ），過1點的真北方向與坐標縱軸北方向之間的夾角稱為子午線收斂角（γ）。
  • 教學研討|1.2.1 中心投影與平行投影
    研討素材一一、教材分析三視圖是立體幾何的基礎之一,畫出空間幾何體的三視圖並能將三視圖還原為直觀圖,是建立空間觀念的基礎和訓練學生幾何直觀能力的有效手段。通過本節知識的學習,為下一章點、直線、平面之間的位置關係學習打下基礎,同時有利於培養學生空間想像能力,幾何直觀能力的,有利於培養學生學習立體幾何的興趣,體會數學的實用價值。
  • 為什麼飛機總是「繞遠」不走直線?
    眾所周知兩點之間直線距離最短，但是在坐飛機時，我們會發現飛機走過的航線是條曲線，這是為什麼呢？ ▌地球是圓的，地圖是平的 一般而言，距離超過400公裡時，地球表面兩點的最短距離，投影到地圖上就和直線有了明顯區別。
  • 機械製圖之二點與直線
    3）點的水平投影與側面投影具有相同的Y坐標2、兩點間的相對位置：指空間兩點之間的上下、左右、前後的位置關係。3、重影點的概念屬於同一條投射線上的點，在改投射線所垂直的投影面上的投影重合為一點。空間的這些點，稱為該投影面的重影點。4、直線的投影直線的投影可由屬於該直線的兩點的投影來確定。
  • 平行投影、中心投影、正投影的五種常見應用，你學會了嗎？
    先給大家複習一下知識點：1、平行投影的投影線是平行的，在同一時刻物體的影長與物高成正比；中心投影的投影線相交於一點，在同一時刻物體的影長與物高不一定成正比。2、平行投影在同一時刻的影子總在同一方向；中心投影在同一時刻的影子不一定在同一方向。3、正投影是投影線垂直於投影面的平行投影。