新的課程中明確要求：用代數式表示數量關係及所反映的規律，發展學生的抽象思維能力。根據一列數或一組圖形的特例進行歸納，猜想，找出一般規律，進而列出通用的代數式，稱之為規律探究。在歷年的中考或學業水平考試中屢見不鮮，頻繁考查，考生大都感到困難重重，無從下手，導致丟分。
解決此類問題的關鍵是：「細心觀察，大膽猜想，精心驗證」。 筆者認為：只要善於觀察，細心研究，知難而進，就會走出「山窮水盡疑無路」的困惑，收穫「柳暗花明又一村」的喜悅。
尤其涉及坐標系下具有函數背景幾何圖形的規律探究問題，更是令學生困惑，這一類題目一般是結合常見的幾何圖形，如等腰三角形、等邊三角形、正方形、點在平面直角坐標系中的變化、函數圖像等進行考察，一定要把握幾何圖形的特殊性質，然後從特殊到一般找規律即可。
例題：平面直角坐標系xOy中，點A，A，A，…和B，B，B，…分別在直線y＝1/5x+b和x軸上．△OAB，△BAB，△BAB，…都是等腰直角三角形，如果A（1，1），
本題似曾相識燕歸來，好像做過，穿了個馬甲就不認識了？別急，這個圖確實以前做過，不過，這次的條件不一樣了，難度稍微增加了一點點。我們先分析完這道題，看一下能有幾種方法來求解。
先看已知條件：A坐標已知，直線的解析式包含一個未知參數，將點A坐標代入，易得4/5，所以直線解析式為y=1/5x+4/5,由圖，ΔOAB為等腰直角三角形，可得B點坐標（2，0）。
接下來的目標自然是求A的坐標。這一步也是本題解決的關鍵。方法有很多，這裡介紹三個典型解法：
方法一，幾何法：
設A（x，y），如圖，有BN=AN，所以x=2+y，代入直線解析式，可得A2點坐標(7/2,3/2), 類似地，得到A點坐標(29/4, 9/4)，
方法二，代數法：
直線BA過點B且斜率為1，可得BA的解析式為y=x-2，與直線AA解析式連立，可求得點A的坐標，類似地，求得點A的坐標。
方法三，比例法：
根據等比縮放原理，圖中等腰直角三角形的邊長以此等比例放大，只需要找出BA與OA的比值，就可以求出An的縱坐標了。觀察ΔPOA與ΔPBA，有BA：OA=PB：PO。故此，求出P點坐標（-4，0）後，可秒得結果。
好了，三種解法介紹完了。一般地，對於直角坐標系規律題，代數法與比例法較為通用，但代數法一般計算較多，稍顯繁瑣，比例法往往比較快捷，但對我們的水平要求稍高一點。
如果對解析過程有任何不明白，建議做一下下面的幾何法解規律題鞏固。練習例題，仍有疑問，歡迎留言
牛刀小試：
1．（2018羅平縣三模）在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCO、ABCB、ABCB，…，按圖所示的方式放置．點A、A、A，…和點B、B、B，…分別在直線y＝kx+b和x軸上．已知C（1，﹣1），C（7/2，-3/2），則點A的坐標是________．
2（2018貴港中考題）如圖，直線l為y＝√3x，過點A（1，0）作AB⊥x軸，與直線l交於點B，以原點O為圓心，OB長為半徑畫圓弧交x軸於點A；再作AB⊥x軸，交直線l於點B，以原點O為圓心，OB長為半徑畫
3．（2018淮安中考題）如圖，在平面直角坐標系中，直線l為正比例函數y＝x的圖象，點A的坐標為（1，0），過點A作x軸的垂線交直線l於點D，以AD為邊作正方形ABCD；過點C作直線l的垂線，垂足為A，交x軸於點B，以AB為邊作正方形ABCD；過點C作x軸的垂線，垂足為A，交直線l於點D，以AD為邊作正方形ABCD，…，按此規律操
一般地，對於坐標系下具有函數背景的幾何圖形規律探究問題，要先找出前面幾個點的坐標，找到其規律性，然後推導出第N個點坐標的一般表達式，找到第n個圖形與第n+1個圖形之間的大小比例關係是解決此類題目的關鍵。