戀上古埃及分數:有理數都可以寫成不同的單位分數的和

作者: 汪洋 (遇見數學創作小組核心成員)

戀上埃及分數

1．追本溯源

傳說古埃及一個老人臨死前，立下一分奇怪的遺囑，遺囑說：家中有十一頭驢，將在他死後分給三個兒子，一半分給長子，四分之一分給次子，六分之一分給小兒子。

老人死後，三個兒子為怎麼分配驢，而發愁。十一頭驢的一半是五頭半驢，總不能將驢殺了吧，正在無奈之際，只見有一個頭戴穆斯林民族白色纏頭，身穿白袍，倒騎著一頭小毛驢的人經過，他不就是那個大名鼎鼎的愛捉弄黑心商人、貪婪法官、偽善財主的阿凡提嗎？兄弟仿佛遇到了救星，愁眉變笑顏。兄弟們立馬叫住了阿凡提，並講述了事情的經過。

圖自網絡

阿凡提聽後，把自己的毛驢牽到十一頭驢中間，然後便開始按老人的遺囑，分六頭驢給老大，剛好是一半，然後又分三頭給老二，也剛好是四分之一，最後分二頭給老三，也剛好是六分之一。總數是十一頭驢。然後剩下的頭就是阿凡提本人的。

兄弟仨人非常感激，這個故事代代相傳。直到今天 "阿凡提"這個名字在埃及都家喻戶曉，甚至在人們的日常生活中經常能聽到。它演變成了一種對人的尊稱，意思相當於"先生"。

實際上故事中的道理用數學語言表述，即是

古埃及人，喜歡用幾個分子是1的分數之和來表示有理數，這種分子為1的分數，後來就稱作埃及分數，也叫單位分數。

▲ 埃及分數表示法(圖自維基)

埃及分數有一些有趣的性質，如

更有趣的是下面是如下的等式：

式中右邊前幾個分數中的分母，是最小分數之分母除去1與自身之外的所有的約數。如果兩邊同時乘以最大的分母，我們發現這個最大的數，是除去自身之外的所有約數之和。這種整數最早是公元前6世紀的畢達哥拉斯發現的。

畢達哥拉斯雕像

畢達哥拉斯曾說:"6象徵著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，並且其和等於自身。"有些《聖經》注釋家認為6和28是上帝創造世界時所用的基本數字，因為上帝創造世界花了六天，二十八天則是月亮繞地球一周的日數。聖·奧古斯丁說:"6這個數本身就是完全的，並不因為上帝造物用了六天;事實上，因為這個數是一個完全數，所以上帝在六天之內把一切事物都造好了"。

如果一個數恰好等於它的因子之和，則稱該數為"完全數"。完全數(Perfect number)，又稱完美數或完備數。

數學家歐拉曾推算出完全數的公式:如果 p 是素數，且 2^p-1 也是素數，那麼 (2^p-1)2^(p-1) 便是一個完全數。2^p-1很明顯是一個梅森素數。

是不是越來越有趣了！難怪阿基米德也研究過單位分數。1950 年（這個問題與我們中華人民共和國差不多同歲就好）Paul Erds（保羅·埃爾德什）猜想:對於 n>1 的正整數，方程

恆有正整數解。這就是著名的埃及分數(Egyptian fraction)問題。

Stralss進一步猜想，當n≥2時，方程的解x，y，z滿足 x≠y，y≠z，z≠x，x<y<z。

1963年柯召，孫奇，張先覺證明了Erds猜想與Stralss猜想等價。

有些朋友可能不以為然了。就這樣一個小學初中的分數問題，是一個著名的問題？我說是的，先來說下Stralss。他可是愛因斯坦的助手，德國出生的美國數學家。對於Erds，（埃爾德什，跟我國鄂爾多斯高原同名，一看這個名就有一種遼闊的感覺）有著"現代的歐拉"、"數學莫扎特"之美稱。他跟中國數學家，柯召是好友。熟悉數論的朋友，應該都會了解柯召是何許人也。想必不少人用過他跟孫奇編的數論教材吧。另外還有一個美麗的數學愛情故事跟Erds有關。

在1933 年，匈牙利數學家 George Szekeres 那時還只有 22 歲。他常常和朋友們在匈牙利的首都布達佩斯討論數學。這群人裡面還有同樣生於匈牙利的數學怪才——Paul Erds 大神。當時的Erds 年僅 20 歲。

在一次數學聚會上，一位名叫 Esther Klein 的美女同學提出了這麼一個命題：在平面上隨便畫五個點（其中任意三點不共線），那麼一定有四個點，它們構成一個凸四邊形。Szekeres 和 Erds 等人想了好一會兒，沒想到該怎麼證明。於是，美女同學得意地宣布了她的證明：這五個點的凸包（覆蓋整個點集的最小凸多邊形）只可能是五邊形、四邊形和三角形。前兩種情況都已經不用再討論了，而對於第三種情況，把三角形內的兩個點連成一條直線，則三角形的三個頂點中一定有兩個頂點在這條直線的同一側，這四個點便構成了一個凸四邊形。

眾人大呼精彩。然而Erds 和 Szekeres 仍然對這個問題念念不忘，於是嘗試對其進行推廣。最終，他們於 1935 年發表論文，成功地證明了一個更強的結論。 Erds 把這個命題叫做"幸福結局問題"（Happy Ending problem），因為這個命題讓 George Szekeres 和美女同學 Esther Klein 走到了一起，兩人在 1936 年結了婚。最後的結局也真的很幸福。結婚後的近 70 年裡，從未分開過。 2005 年 8 月 28 日， George 和 Esther 相繼離開人世，相差不到一個小時。

也許因為思考Erds猜想的問題，會帶來吉祥幸福吧。華裔澳大利亞數學家陶哲軒也研究過這個問題。

Erds(左)與陶哲軒(右)

美國出生的英國數學家莫德爾(Model)證明了，當 n-1 不是 24 的倍數時，n≤10^14 猜想成立。迄今為止，人們已驗證當時猜想正確。可是，我們仍不知是否對所有的 n 或幾乎所有的 n 猜想成立。

1956年，波蘭數學家席賓斯基猜測，對於任何 n>1，方程

恆有正整數解。

上述兩個猜想至今未獲得證明或否定。這個問題難倒了世界上第一流的數學家。至此，我說這是一個著名的問題。應該沒有人有疑義了吧。另外如果你是單身，或者渴望幸福美滿的愛情。思考這個問題，會給你帶來好運喲！！！

2．初窺門徑

以小學初中數學為題材的問題，竟然這麼難。是不是有一種躍躍欲試的衝動呀。對於(1.5)式，

如果n為偶數，不妨假設：n=2m，則(1.5)式，可以寫成如下

由(1.1)可知：

由(1.2)可知

因此n為偶數時(1.5)成立。

一下子就搞定了一半的自然數，是不是感覺很容易！！

如果n為4的倍數時，不妨假設：n=4m，則(1.5)式，可以寫成如下

由(1.3)可知。

其實只須考慮 n 為素數 p 的情形。

因為若（2.5）式成立則：

也必成立，其中 m 為大於 1 的整數。

相當只要解決非常少部分的整數了！

而對於4k-1型數易證（2.5）式成立。因為：

而每一個埃及分數均可以由(1.1)(1.2)的方式分解成兩個埃極分數的和.

所以對於4k-1型素數，(2.5)成立。

這樣我們又解決了一半素數了。

因為同樣對於6k-1型素數易證（2.5）式成立，因為：

所以對於6k-1型素數，(2.5)成立。

還可以證明8k-3型素數也使（2.5）式成立，因為：

所以對於8k-3型素數，(2.5)成立。

不難證明對於40k+17與40k-7型素數，也使(2.5)式成立。

綜上好像問題快要解決了！其實不然，古人云：行百裡者半九十！雖然由（2.7）（2.8）(2.9)(2.10)(2.11)我們已經找到了使（2.5）成立的一些通解。那麼問題來了！這些通解能覆蓋所有素數嗎？

期待您的參與，有您的參與，結局會更精彩！(未完待續……)