存在性問題綜述：
探究存在性問題是二次函數代幾綜合壓軸題的重中之重，往往做為壓軸題最後一問出現在中考試卷中，分值雖然不高，大多數時候還不要要求書寫解答過程，但因為其類型較多，題目答案多解，考查知識點較多，所以稱為中考的拉分題目。
存在性問題大致可分為直角三角形存在性問題（一圓兩線法）、等腰三角形存在性問題（兩圓一線法）、平行四邊形存在性問題（平移線段法）、相似三角形存在性問題（分類討論法）等。雖然分類較多，但是解題思路都差不多：首先通過數形結合的圖形法找到符合要求的點的粗略位置，然後再通過全等或相似以及勾股定理等其他知識求解。只要大家掌握了每一類題目的解答技巧，還是能夠輕鬆得分的。
本文昊南老師就詳細介紹一下「特殊三角形的存在性問題」和「特殊四邊形的存在性問題」二次函數的代幾綜合題，希望你能跟隨昊南老師的腳步向滿分發起衝刺！
經典例題與練習：
例3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交於點A（-1,0），B（3,0），與y軸交於點C，直線BC的解析式為y=kx+3，拋物線的頂點為D，對稱軸與直線BC交於點E，與x軸交於點F.
練習1.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)與x軸相交於A、B兩點，與y軸相交於點C，直線y=kx+n(k≠0)經過B、C兩點，已知A(1,0),C(0,3)，且BC=5.(1)分別求直線BC和拋物線的解析式(關係式)；
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。
練習2.如圖,已知二次函數y=-x^2+bx+c(c>0)的圖象與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交於點C，且OB=OC=3，頂點為M.
(1)求二次函數的解析式；
(2)點P為線段BM上的一個動點，過點P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ=m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關於m的函數解析式，並寫出m的取值範圍；
(3)探索：線段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由。
練習3.如圖①，已知拋物線y=ax^2+bx+c的圖像經過點A（0，3）、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線於點C，∠AOB的平分線交線段AC於點E，點P是拋物線上的一個動點，設其橫坐標為m.
（1）求拋物線的解析式；
（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結PE、PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，並求出其最大值；
（3）如圖②，F是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.
例4.如圖，拋物線經過A（-5,0），B（-1,0），C（0,5）三點，頂點坐標為M，拋物線的對稱軸l與x軸交於點D，與直線AC交於點E.
練習1.綜合與探究:如圖,在平面直角坐標系xOy 中，四邊形OABC 是平行四邊形，A、C 兩點的坐標分別為（4,0）、（-2，-3） ，拋物線W 經過O、A、C 三點，D 是拋物線W 的頂點.（1） 求拋物線W 的解析式及頂點D 的坐標；（2） 將拋物線W 和平行四邊形OABC 一起先向右平移4個單位後，再向下平移m(0<m<3)個單位,得到拋物線W』和平行四邊形O』A』B』C』，在向下平移的過程中，設平行四邊形O』A』B』C』與平行四邊形OABC
的重疊部分的面積為S，試探究：當m為何值時S有最大值，並求出S的最大值；
（3） 在（2） 的條件下，當S取最大值時，設此時拋物線W』的頂點為F，若點M 是x 軸上的動點，點N是拋物線 上的動點，試判斷是否存在這樣的點M 和點N ，使得以D 、F、M、N 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M 的坐標；若不存在,請說明理由.
練習2. 如圖：在平面直角坐標系中，直線l：y=1/3 x-4/3與x軸交於點A，經過點A的拋物線y=ax2-3x+c的對稱軸是直線x=32.
（1）求拋物線的解析式；
（2）平移直線l經過原點O，得到直線m，點P是直線m上任意一點，PB⊥x軸於點B，PC⊥y軸於點G，若點E在線段0B上，點F在線段0C的延長線，連接PE，PF，且PE=3PF，求證：PE⊥PF.
（3）若（2）中的點P坐標為（6，2），點E是x軸上的點，點F是y軸上的點，當PE⊥PF時，拋物線上是否存在點Q，使四邊形PEQF是矩形？如果存在，請求出點Q的坐標，如果不存在，請說明理由.
希望昊南老師的作品能為你的中考衝刺助力，加油吧童鞋們！