數學課堂：為什麼負負得正？

為什麼負負得正？

19世紀法國著名作家司湯達小時候很喜愛數學，用他自己的話說，數學是他的「至愛」。但當老師教到「負負得正」這個運算法則時，他一點都不理解，他希望有人能對負負得正的緣由做出解釋。

可是，他所請教的人都不能為他釋此疑問，而且，司湯達發現，他們自己對此也不甚了了。

司湯達的數學輔導老師夏貝爾（Chabert）先生在司湯達的追問之下感到十分尷尬，不斷重複課程內容，說什麼負數如同欠債，而那正是司湯達的疑問在：「一個人該怎樣把10 000法郎的債務與500法郎的債務乘起來，才能得到5 000 000法郎的收入呢？」最終，夏貝爾先生只得搬出大數學家歐拉和拉格朗日來：

「這是慣用格式，大家都這麼認為，連歐拉和拉格朗日都認為此說有理，我們知道你很聰明，但你也別標新立異嘛。」

司湯達所就讀的格勒諾布爾中心學校的數學教師迪皮伊（Dupuy）先生對於司湯達的提問，「只是不屑一顧地莞爾一笑」；而靠死記硬背學數學 的一位高才生則對於司湯達的疑問「嗤之以鼻」。

可憐的司湯達被「負負得正」困擾了很久，最後，在萬般無奈之下只好接受了它。他一直將數學視為 「放之四海而皆準的真理」，認為數學可用來「求證世間萬物」，可是，「負負得正」動搖了他對於數學與數學教師的信心。

記得當初做學生時，學了有理數運算後也產生了同樣的疑惑：為什麼「負×負=正」呢？老師教這個知識時也沒有多解釋，只是說這是規定是法則。後來自己琢磨明白了：負表示相反、否定的意義，否定之否定當然是肯定了。

而司湯達問「一個人該怎樣把10000法郎的債務與500法郎的債務乘起來，才能得到5000000法郎的收入呢？」他產生這個疑問的原因是沒有理解乘法的意義。

加法是同類數據求和，式中兩個加數的意義必須相同，如2個蘋果加3個蘋果結果是5個蘋果。而乘法中兩個因數的意義是不同的，如a×b中，表示b個a相加，a是數據，b是數據a重複疊加的次數。而符號可以看成是數據的操作方式，正號表示與原操作的方式相同，負號表示與原操作的方式相反。因而算式「負10000法郎×負500法郎」是無現實意義的。可以用「負10000法郎×負500」解釋：前一個負號表示對10000法郎的操作方式是支出，後一個負號表示與支出相反的操作方式即收入，從而算式的意義變成了收入500次10000法郎的結果，即為正5000000法郎（收入5000000法郎）。

有人這樣用類比的方法解釋乘法符號法則的合理性：

好為正，壞為負。

好人好報是好事⇒ 正×正=正；

好人壞報是壞事⇒ 正×負=負；

壞人好報是壞事⇒ 負×正=負；

壞人壞報是好事⇒ 負×負=正。

細想一下，其中的道理確有相通之處，正是日常事理與數學規則的完美結合。

讀書時還有一個疑問，在學習無理數時對「無理數」這個名稱感覺怪怪的，有理數是「有道理的數」？無理數難道是「沒道理的數」？既然沒道理我們還學它幹嘛？這個疑問直到多年後偶然看到孫維剛老師的解釋才迷團頓解。

原來，「有理數」和「無理數」這兩個名詞是從西方傳來，在英語中是「rational number」和「irrational number」。而rational通常的意義是「理性的」，日本人據此把它翻譯成「有理數」和「無理數」。中國在近代翻譯西方科學著作，照搬了日語中的翻譯方法。但是，這個詞來源於古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這裡的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數的「比」。與之相對，「無理數」就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而並非「沒有道理」。所以更為合適的翻譯應為「可比數」和「不可比數」，有理數都可化為兩個整數的比，無理數則不能，這樣從名稱就可以反映它們的意義和本質。

我想如果老師能對一些不易理解的概念名詞作合理的生活化的解釋，學生就可以更輕鬆地接受新概念，更順暢地理解新概念，也更自然地加深了記憶。

我在講「平行四邊形」定義的時候，這樣問學生：「同學們都認識平行四邊形，那麼你想過沒有，它為什麼叫『平行』四邊形呢？「這樣自然地從「平行」這個名稱引入它的核心特徵「兩組對邊分別平行」，這樣學生在看到「平行四邊形」這個名詞就會想到「平行」這一概念中的要點。

如果知識概念與現實體驗是和諧自洽的，就容易被理解接受而內化。反之若所學知識概念與現實體驗毫不相關甚至是衝突相背的，則很難被真正接受而完成內化。任何概念和規則都是合乎邏輯並能被人的理性所理解和接受，而不是生硬的不講道理的規定。老師要善於從不同角度尋找適合學生能力和經驗的解釋方式和聯繫途徑，以助知識概念的理解內化。

當然，有些公理是顯而易見可以根據我們的理性和經驗直接感知的，如「兩點之間線段最短」，這種知識其實是不證自明的，不必過多解釋。我是這樣說明的：「這個公理同學們肯定都能明白，因為連小狗都知道，想想看，假如你扔給小狗一塊肉骨頭，小狗會沿著什麼路線跑過去？」學生根據自身生活經驗自然會理解並確信。

當概念或規則與它的本質內涵或生活經驗產生豐富的聯繫時，理解和記憶就會變得很容易，可以自然而然地實現知識的內化。老師看來天經地義的東西，學生不一定沒有困惑和疑問，老師如果能在這方面提供更多信息，就會給學生很大的幫助。