無涯助你徹底解決冪級數收斂域的問題

在冪級數中，最重要也是最難的一個問題是收斂域問題。收斂域問題上承常數項級數斂散性判斷，下啟函數的泰勒展開、麥克勞林展開，毫不誇張地說，收斂域是連接常數項級數和函數項級數的橋梁。

小編在本文將會結合兩個有代表性的例子，來對冪級數收斂域問題進行詳盡的闡述，相信本文基本能夠幫助大家解決冪級數收斂域問題方面的所有困惑。

1.通用步驟

圖1顯示了求解一個冪級數收斂域的大致步驟，在解釋前，小編要強調一點，圖1的解決步驟並不是絕對的，只是一個重要的參考。在複習過程中，小編強調要學會思維發散，但是不能一直發散而不收斂。也就是說在複習過程中要不斷總結，對於某個特定的問題，逐漸形成清晰的解決思路，這樣才能笑傲考場。

圖1.冪級數收斂域解答步驟示意圖

為了幫助大家更好地理解圖1，小編通過三個級數進行說明。

例1：無缺項冪級數

大家不妨先行嘗試求解下方冪級數的收斂域。

根據圖1，首先判斷級數是否缺項，那麼所謂的缺項是什麼意思呢？

其實就是看變量的冪是否是公差為1的等差數列。以例1來說，變量為x，當n逐漸增大時，一般項中變量x的冪的變化趨勢為1，2，3，……。簡單說來，就是級數一般項變量部分若符合如下形式（1），則該冪級數就是無缺項冪級數，否則為缺項冪級數：

顯然，級數①是無缺項冪級數。

對於無缺項冪級數，根據相關定理先求收斂半徑，具體過程如下：

根據定理，可知，級數的收斂半徑為1。

收斂半徑確定後，收斂區間即為(-1, 1)。

接下來考慮級數在收斂區間端點x=-1和x=1的斂散性。

不難驗證，x=-1為級數的收斂點，x=1為級數的發散點，因此級數①的收斂域為[-1,1)。

在判斷端點是否是收斂點時，需要用到常數項級數收斂定理和一般性質，不熟悉這塊的同學要好好回顧常數項級數斂散性判斷。

在級數①的基礎上，稍加改變，就變成一個比較複雜的級數，如下所示：

首先判斷級數②是否是缺項級數。根據小編前面所述，級數②是無缺項級數，因為級數②一般項變量部分滿足形式(1)。

對級數②求收斂半徑時，應把形式（1）中的φ(x)整體當作一個變量。對應於級數②，就是把x+1當作一個變量。

級數①和級數②的唯一區別是φ(x)不同。級數①φ(x)=x，收斂域為[-1,1)；級數②φ(x)=x+1，收斂域應是：-1<=x+1<1，即-2<=x<0。

總結一點，就是在求冪級數收斂域時，不要呆板地認為就x一個變量，而應該把形式（1）中的φ(x)當作一個整體的變量。

例2：缺項冪級數

對於級數①進行些許改變，所得的新級數如下所示：

相信大部分人都認為這是個缺項級數。

認為級數③是缺項冪級數的，是把x當作形式（1）中的φ(x)了，此時φ(x)的冪不再是n，二是2n。這樣看的話，級數③只有偶次冪，沒有奇次冪，此時級數③是缺項級數。

對於缺項冪級數，採用比值審斂法求收斂區間。具體過程如下：

小編前面說過，對於級數③，大部分人都認為是缺項冪級數。其實級數③也可以視為無缺項冪級數，只需要進行如下操作,此時形式（1）中的φ(x)等於x2。然後按照無缺項冪級數求收斂域的步驟進行下去即可。

對於看完本文的同學，小編建議，把涉及到的三個冪級數放在一起，然後按照小編的思路多思考，相信冪級數的收斂域將不再成為你的困擾！