本科生科研指南（37）：聲速漫談之聲致振蕩

2020-09-15 木木西裡科技

當聲波在含有氣泡的液體中進行傳播之時，聲波的波速會發生劇烈的變化。比如，聲波在水中的傳播速度是1480米每秒，但在氣泡流中聲波的速度會在部分情況下急劇地衰減到10-20米每秒左右。

這其中的原因我們不妨用中學物理介紹過的簡諧振動過程來進行解釋。在本期博客中，筆者就圍繞這個問題展示一下這兩個現象之間的密切聯繫並基於此解釋一下聲波波速的變化規律。

首先，我們回顧一下中學物理中簡諧振動的例子。具體而言，一個小鐵塊在彈簧的作用下在物體表面往復運動的例子就是一種典型的簡諧振動。

在初始情況下，當小鐵塊偏離彈簧的平衡位置之時，小鐵塊便會受到彈簧因為彈性形變而產生的作用力。比如，當小鐵塊初始壓縮彈簧，則鐵塊會受到一個彈簧的驅動力，迫使其向平衡位置運動。當鐵塊到達平衡位置之時，彈簧的驅動力因為已無變形而為0。

但在平衡位置時，鐵塊由於慣性會繼續運動，從而逐漸拉伸彈簧。此時，彈簧因為拉伸，給鐵塊一個指向平衡位置的作用力。隨後，鐵塊在彈簧的作用下逐漸減速，最終達到最大的偏離位置，鐵塊的速度也降低至0。


此時，鐵塊已完成了半個周期的振蕩。後續，鐵塊會沿著相同的路徑返回到初始位置。在理想情況下，如果沒有摩擦力的作用，鐵塊會這麼一直振蕩下去，而其振蕩的固有頻率等於彈簧的彈性係數除以鐵塊質量再開二次根號。上述彈簧的作用力又被稱為恢復力，因為其方向永遠傾向於將鐵塊拉回到其平衡位置。

類似地，當微弱聲波在水中傳播時，如果水中存在小氣泡，氣泡便會在聲場的作用下發生類似的簡諧振動，其機理與上述鐵塊-彈簧體系非常的類似。在氣泡振蕩的情形下，運動的實際上是氣泡界面所推動的周圍水體，尤其是氣泡附近的水體。

類似於上述彈簧產生的恢復力，氣泡振蕩的驅使作用力主要是氣泡兩側的壓力差，其特徵也滿足恢復力的定義。假設，初始條件下，氣泡內部壓力小於外界壓力，氣泡則逐步地被壓縮。此時，隨著氣泡邊界的逐步收縮，氣泡的體積逐漸減小。根據理想氣體狀態方程，此時氣泡內部的壓力則逐漸增加，從而使得氣泡內部的壓力大於外部的壓力。

因而，氣泡邊界會逐漸減速至0，然後逐漸加速朝著平衡位置運動。當氣泡到達平衡位置時，因為慣性繼續膨脹，從而導致氣泡內部的壓力急劇減小，從而使得內外部的壓差趨向於使氣泡收縮並回到平衡位置。由此可見，氣泡的運動可以有效地簡化為簡諧振動，從物理本質上與鐵塊-彈簧體系完全一致。


現在，我們進一步考慮聲場的作用。聲波相當於從外界為氣泡振蕩提供了一個正弦變化的驅動力，從而使氣泡能夠形成穩定的、頻率為聲場頻率的振蕩。現在，依據聲場頻率的不同，我們分三種情形討論聲波引起的氣泡振蕩（注一）。

第一種情形：聲場頻率遠大於氣泡振蕩的固有頻率。此時，氣泡的振蕩幅值非常之小，可以忽略。因此，氣泡對聲波的傳播速度影響甚微，聲波的傳播速度等於其在水中的傳播速度。

第二種情形：聲場頻率接近氣泡振蕩的固有頻率。此時，氣泡的振蕩幅值非常之大，即產生共振。共振的危害實際上非常之顯著，比如本系列博客第25期提到過的卡門渦街所引起的大橋坍塌以及火電廠冷卻塔倒塌事故等等（注二）。此時，氣泡振蕩對聲波的傳播速度影響極大，聲波速度在這個範圍之內會急劇地變化。

第三種情形：聲場頻率遠小於氣泡振蕩的固有頻率。此時，氣泡的振蕩幅值主要受氣泡振蕩的固有頻率影響，該數值主要取決於氣泡的半徑以及氣泡在水中所佔的體積百分比（又被稱為體系率）等參數。因此，氣泡對聲波的傳播速度有一定影響，但當氣泡大小及分布等參數給定時，聲速在該情形下是一個定值。當氣泡較少之時，聲波的傳播速度接近水中的聲速。

圖一 筆者計算得到的波速隨著聲波頻率和氣泡體積百分比的變化曲線（注三）


最後，我們討論一下真實的、帶有能量耗散的情形。與上述理想體系不同的是，在真實的情況下，小鐵塊在運動過程中除了受到彈簧的作用力以外，還受到地面對彈簧的摩擦力，其方向與小鐵塊的運動方向相反。因此，在沒有外界能量輸入的情形下，小鐵塊的振蕩幅值會逐漸減小直至靜止在平衡位置。類似地，氣泡在運動過程中也會受到流體因粘性而產生的作用力，並且該作用力也是與流體的運動方向相反，起到能量耗散的作用。由此可見，聲波在含氣泡流體的傳播過程中，部分能量轉變為了氣泡的振蕩以及由此帶來的能量耗散，從而導致了聲波能量的衰減。

從聲波傳播過程中物理機制的闡述及類比，本科生可以體會如何科學地開展知識的有效積累和使用。

數理基礎

數學和物理是從事很多領域研究工作的重要前提和基本功，本科生需要在大學學習過程中對此高度重視。比如，對於簡諧振動以及相關更為複雜的振蕩形式的分析過程中，一般會採用複變函數進行研究，並進一步依託復速度等概念進行求解。

物理本質

對於重要的物理現象，本科生需要充分地理解其物理上的本質。比如，在此例中，通過分析我們發現氣泡在聲波作用下產生的振蕩是導致聲速變化和聲波能量耗散的核心原因，從而可以加深對聲速在含氣泡流體中變化的認識。

活用類比

很多知識間具有很強的相通性，本科生在學習過程中可以充分地對此加以利用。例如，在流體力學課程的學習中，複雜串並聯管道的能量損失計算可以類比電路的串並聯原理進行。在傳熱學的學習中，部分內容也通過類比電路原理提出了熱阻等概念。


注釋部分

注一： 筆者詳細的推導過程詳見以下論文。Zhang, Y., Guo, Z. and Du, X., 2018. Wave propagation in liquids with oscillating vapor-gas bubbles. Applied Thermal Engineering, 133, pp.483-492.注二：關於卡門渦街共振現象，參見筆者以下博文：本科生科研指南（25）：卡門渦街http://blog.sciencenet.cn/blog-352862-1211649.html注三：此圖引自筆者發表的如下論文中的圖4。Zhang, Y. and Du, X., 2015. Influences of non-uniform pressure field outside bubbles on the propagation of acoustic waves in dilute bubbly liquids. Ultrasonics sonochemistry, 26, pp.119-127.

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