歷屆數學期末考試,重點題型解析,利用函數方法解決幾何圖形計算...

2020-12-17 陳老師初中數理化

一次函數與反比例函數是八年級的重要知識點，利用函數方法解決幾何圖形的計算問題是期末考試的難點，本文就例題詳細講解這類題型的解題思路，希望能給大家期末複習備考帶來幫助。

例題

如圖，在平面直角坐標系中，一次函數=-4/3x+4的圖像與x軸、y軸分別相交於點C、D，四邊形ABCD是正方形，反比例函數y=k/x的圖像在第一象限經過點A。

（1）求點A的坐標及k的值；

（2）點P是反比例函數y=k/x（x>0）的圖像上一點，且△PAO的面積為21，求點P的坐標。

1、求點A的坐標及k的值

根據題目中的條件：點C、D在一次函數=-4/3x+4的圖像上，則當x=0時，解得y=4，當y=0時，解得x=3，即C點坐標為（3,0）、D點坐標為（0,4）。

過A點作AE⊥y軸，交y軸於點E

根據正方形的性質和題目中的條件：正方形的四條邊相等，四個角為直角，四邊形ABCD是正方形，則AD=DC，∠ADC=90°。

根據題目中的條件和結論：∠ADE+∠ADC+∠CDO=180°，∠ADC=90°，則∠ADE+∠CDO=90°。

根據題目中的條件和結論：∠COD+∠OCD+∠CDO=180°，∠COD=90°，則∠OCD+∠CDO=90°。

根據結論：∠ADE+∠CDO=90°，∠OCD+∠CDO=90°，則∠ADE=∠OCD。

根據輔助線：AE⊥y軸，則∠AED=90°。

根據題目中的條件和結論：∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∠AED=90°，則∠ADE +∠DAE=90°。

根據結論：∠ADE +∠DAE=90°，∠ADE+∠CDO=90°，則∠DAE=∠CDO。

根據全等三角形的判定定理和結論：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，∠DAE=∠CDO，AD=DC，∠ADE=∠OCD，則△ADE≌△DCO。

根據全等三角形的性質和結論：全等三角形的對應邊相等，△ADE≌△DCO，則AE=DO，DE=CO。

根據結論：C點坐標為（3,0）、D點坐標為（0,4），則CO=3，DO=4。

根據結論：AE=DO，DE=CO，CO=3，DO=4，，則AE=4，DE=3。

根據題目中的條件和結論：DO=4，DE=3，OE=DO+DE，則OE=7。

所以，A點坐標為（4,7）。

根據題目中的條件和結論：A點在反比例函數圖像上，A點坐標為（4,7），則把A點坐標代入y=k/x能使等式成立，即7=k/4，可解得k=28。

2、求點P的坐標

設點P的坐標為（a,28/a）

當P在A的下方

過A點作AF⊥x軸，交x軸於點F，過P點作PG⊥x軸，交x軸於點G

根據輔助線：AF⊥x軸，PG⊥x軸，則△AOF、△POG為直角三角形，。

根據平行線的判定定理和輔助線：垂直於同一直線的兩直線平行，AF⊥x軸，PG⊥x軸，則四邊形AFGP為直角梯形。

根據結論：A點坐標為（4,7），P點坐標為（a,28/a），則AF=7，OF=4，OG=a，PG=28/a，FG=a-4。

根據三角形的面積計算公式和結論：S△AOF=AF*FO/2，AF=7，OF=4，則S△AOF=14。

根據梯形的面積計算公式和結論：S梯形AFGP=（PG+AF）*FG/2，AF=7，PG=28/a，FG=a-4，則S梯形AFGP=（7+28/a）（a-4）/2。

根據三角形的面積計算公式和結論：S△POG=PG*OG/2，AF=7，OF=4，則S△POG=14。

根據題目中的條件和結論：S△PAO=S△AOF+S梯形AFGP-S△POG，S△AOF=14，S梯形AFGP=（7+28/a）（a-4）/2，S△POG=14，則S△PAO=7a/2-56/a。

根據題目中的條件和結論：S△PAO=21，S△PAO=7a/2-56/a，則a=8或a=-2。

根據題目中的條件：點P在第一象限，則a=-2不符合條件，捨去，即a=8符合題意，即P點坐標為（8,7/2）。

過A點作AM⊥y軸，交y軸於點M，過P點作PN⊥y軸，交y軸於點N

根據輔助線：AM⊥y軸，PN⊥y軸，則△AOM、△PON為直角三角形，。

根據平行線的判定定理和輔助線：垂直於同一直線的兩直線平行，AM⊥y軸，PN⊥y軸，則四邊形AMNP為直角梯形。

根據結論：A點坐標為（4,7），P點坐標為（a,28/a），則AM=4，OM=7，ON=28/a，PN=a，NM=28/a-7。

根據三角形的面積計算公式和結論：S△AOM=AM*MO/2，AM=4，OM=7，則S△AOM=14。

根據梯形的面積計算公式和結論：S梯形AMNP=（PN+AM）*NM/2，AM=4，PN=a，NM=28/a-7，則S梯形AMNP=（28/a-7）（a+4）/2。

根據三角形的面積計算公式和結論：S△PON=PN*ON/2，ON=28/a，PN=a，則S△PON=14。

根據題目中的條件和結論：S△PAO=S△AOM+S梯形AMNP-S△PON，S△AOM=14，

S梯形AMNP=（28/a-7）（a+4）/2，S△PON=14，則S△PAO=56/a-7a/2。

根據題目中的條件和結論：S△PAO=21，S△PAO=56/a-7a/2，則a=-8或a=2。

根據題目中的條件：點P在第一象限，則a=-8不符合條件，捨去，即a=2符合題意，即P點坐標為（2,14）。

所以，P點坐標為（8,7/2）或（2,14）時，△PAO的面積為21。

結語

利用函數方法解決幾何圖形的計算問題的解題思路：

1、由函數關係式得到幾何圖形上某些特殊點的坐標值；

2、利用這些坐標值確定幾何圖形在直角坐標系中的位置；

3、利用幾何圖形的性質得到幾何圖形上其他關鍵點的坐標值；

4、把無法直接求解的圖形面積轉換為可以求解的幾個圖形的面積和或差進行計算。

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