北京大學2019年數學分析試題及解答

2020-12-15 數學十五少

先給大家看看試題，試題的解答及評論放在後面，歡迎大家關注分享轉發

下面對每題做一個簡單的評述

求複雜結構式子的極限時，夾逼定理是王道. 此題改編自謝惠民老師的《數學分析習題課講義》第二章第二組參考題第一題. 上述證明中用到了幾何-算術平均值不等式， 如果連續用$ n $次也可估計出來， 不過用一次就行了.出題老師大意了，我仔細看了題幹幾次，並沒有要求$ x_n \neq y_n $，而且就算添加一些要求仍舊不難，是送分題.幾乎完全一樣的題目見《數學分析習題課講義》上冊第334頁第17題.此題是對《數學分析習題課講義》下冊第28，29頁所述內容的一個補充此題為北京大學1987年數學分析考研真題第四題第二問.改編自一個很經典的題目，可以見《數學分析習題課講義》上冊第$ 396 $頁命題$ 12.4.1 $，陳紀修等人編著的《數學分析》第二版上冊第$ 379 $頁例$ 8.2.9 $，林源渠、方企勤編的《數學分析解題指南》第$ 417 $頁題$ 7.11 $，裴禮文《數學分析中的典型問題與方法》第二版第$ 415 $頁例$ 4.5.24 $ .幾乎完全一樣的題目見《數學分析習題課講義》上冊$ 96 $頁第三章第二組參考題第$ 10 $題.解題思路與《數學分析習題課講義》上冊$ 284 $頁第十二章例題$ 12.2.4 $一樣，可以算作改編題.此題前半部分與《數學分析習題課講義》下冊$ 73 $頁例題$14.4.5$幾乎一模一樣，差別在於多了一個常數$ 2 $. 後半部分是一個很經典的積分，可在各種數學分析教材和習題書的含參變量積分部分找到，比如張築生老師《數學分析新講》第三冊第$ 337 $頁例$ 2 $，林源渠、方企勤編的《數學分析解題指南》第$ 304 $頁例$ 2 $前半部分是Dirichlet積分，與北京大學$ 2006 $年數學分析第$ 5 $題，$ 2016 $年數學分析第$ 7 $題一樣，在各種數學分析教材和習題書上也很常見. 這裡給出的證明方法見於張築生老師《數學分析新講》第三冊第$ 285 $頁引理$ 3 $；更常見的證明方法在數學分析教材含參變量積分部分，是通過引入收斂因子來做；學了複變函數後也可以用留數定理來證明這個結論. 解決後半部分只需用下分部積分，與《數學分析習題課講義》下冊$ 295 $頁練習題$7$第一小問類似.

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