收到了不少朋友的支持，謝謝你們。今天我們再看一份總分為100分的高等代數與解析幾何試題，還是像往常一樣，我們先看掃描版試題。建議在看後面的解答之前先自己想想這些題怎麼做，特別是第6題第二問先動手寫寫最好。
題目其實不算很難，再次特別提醒你們先自己寫第6題第二問再看後面的解答，我覺得那道題可以算前面那些年份裡面不錯的一道題了，我後面雖然寫了一個解答，但是我覺得不太好，不知道是否有更好的做法。
第一題是比較常規的異面直線的公垂線問題。第二題求旋轉曲面也是解析幾何教材上的常規題目。第三題是老面孔了，實對稱矩陣的正交相似對角化。第四題通過說明兩個式子沒有公共的復根來證明互素。第五題直接按定義來做一些計算就行了。第七題是考的線性空間V的任意有限個真子空間的併集不能填滿V。很多《高等代數》教材上有這個課後習題，這裡這個證明方法源於藍以中老師的《高等代數學習指南》第150頁例2.6的證法一，北京大學2012年的高等代數第5題又考到了這樣一個事實。
第6題第一問的子空間比較容易舉出來，關鍵是第二問，我第一眼想到的是用維數公式，這樣就能轉化為只需證明dim（W_1 + W_2）≤n-r+s，容易看出當r=s時結論就為真，然後我就想是不是題目弄錯了，應該是兩個子空間的維數一個為n-r，一個為n-s，我試著舉些例子看看有沒有反例，但是試了幾個例子發現結論是對的，接著我就想用數學歸納法試試看能不能做出來，但是似乎也無從下手。實在沒辦法了就只能靠猜，一個很自然的猜測是那兩個子空間都包含了一個公共的子空間，後面通過初等變換發現確實應該是這樣，最後就寫了上面那個解法。如果有錯，歡迎指出。如果你們有更好的解法，也歡迎分享交流。