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著名的三角形九點圓，想必您知道一些。我以前有文章專門介紹過九點圓（從歷史消息中可以搜索到）。今天，我們更加深入一步，補充兩個點，使九點圓成為「十一點圓」，但注意，只有三角形為鈍角三角形時才有可能產生這特殊的兩個點。今天的內容還涉及反演圓（或極圓）的概念。
今天所講內容全都集中在下面這幅圖中。
看似有些複雜。下面我將一步步講解這幅圖是怎麼構建起來的。
（1）作一個鈍角三角形ABC，其中角A為鈍角。
（2）分別過點A、B、C作對邊的垂線，因為是鈍角三角形，所以，三垂線的交點即垂心必定位於三角形之外。同時有兩個垂足不在對邊之上而是在延長線上，從而也位於三角形之外。如下圖所示，其中點O即為垂心，點B'、C'是位於三角形外的垂足，點A'是鈍角A所對的垂足。可以看出，點O是由鈍角三角形唯一確定的。
（3）下面我們要作一個以點O為圓心的圓，讓它成為一個反演圓，而圓心O自然就是反演中心。兩個點互為反演是指，它們位於同一條以反演中心O為頂點的射線上，且兩點到反演中心O的距離的乘積等於反演圓半徑的平方。在這裡，點A與A'都位於OA'這條射線上，它們到點O的距離OA和OA'也是確定的。所以，要讓點A與點A'成為互為反演的點，只需反演圓的半徑等於「OA乘以OA'再開平方」。這個半徑是可以通過尺規作圖法找到的。於是，我們便可以作出反演圓O（在另一種意義下也叫做極圓），如下圖示中的綠色圓。
（4）於是，有了反演圓。也有了點A和A'互為反演。又因為三角形OAB'相似於三角形OA'B，所以，OA : OB = OB' : OA' ，從而「OB · OB' = OA · OA' ，這說明，點B與B'也互為反演。同理，點C與C'也相為反演。總結一下上述步驟：步驟(1)中的鈍角三角形一旦確定，步驟(2)中的垂心O也就確定，從而OA和OA'的長度就都確定了，從而以點O為反演中心，讓點A與A'成為互為反演點的反演圓也就隨之確定。
（5）作一個過點A'、B'、C'的圓O1（三點確定一個圓），那麼，由我們以前講過的三角形九點圓概念，這個新作的圓O1就是三角形ABC的九點圓，如下圖中藍色圓所示。九個點中，除點A'、B'、C'這三個點（圖中標以淺綠色）外，另外六個點是：三個點為三角形ABC三邊的中點D、E、F（圖中標以黃色），另外三個點為頂點與垂心連線的中點A"、B"、C"（圖中標以淺藍色）。即九個點為：A'、B'、C'、D、E、F、A"、B"、C"。
（6）我們知道，一個不過反演中心的圓的反演還是一個圓（也不過反演中心）。那麼，因為九點圓上A'、B'、C'這三點的反演點分別是三角形ABC的三個頂點A、B、C，所以，過A、B、C三點的圓就是九點圓的反演圓，而過A、B、C三點的圓是三角形ABC的外接圓。於是，我們便得到結論：鈍角三角形ABC的九點圓，在前面所作出的那個唯一的反演圓O的作用下，變換成為三角形ABC的外接圓。或者說，在九點圓與外接圓之間存在一個反演圓，使得九點圓與外接圓互為反演。下圖中的圓O3（紅色圓）就是三角形ABC的外接圓。
（7）觀察上圖。因為三角形ABC是鈍角三角形（角A是鈍角），所以，頂點A位於點A'和A"之間，即點A位於九點圓內部。所以，九點圓一定與外接圓（當然過點A）相交（當然是交於兩點）。針對每一個交點，因為九點圓與外接圓互為反演，所以，它們的交點必定是自反演點（或叫反演不動點），自反演點一定位於反演圓上。也就是說，九點圓與外接圓的兩個交點都必定位於反演圓上。這說明，在九點圓上又出現了兩個特殊的點，它們都是三圓（九點圓、外接圓和極圓）的交點。這確實很特殊。下圖中的點S和T就是這兩個點（圖中標以粉色）。
（8）最終，我們所講的「十一點圓」的十一個點分別為：A'、B'、C'、D、E、F、A"、B"、C"、S、T。（注意，我們給十一點圓打了引號，是因為九點圓是大家常說到的，也比較容易理解的，而十一點圓基本不被提及。）
（9）最後，順帶提及一下歐拉線。如下圖所示，三角形ABC的垂心O、外心O3及重心G位於同一條直線上，這條線叫做歐拉線，或者就把線段OO3叫做歐拉線。點G把歐拉線OO3分成1:2的兩部分，點G靠外心較近。而九點圓（這裡是十一點圓）的圓心O1正好是歐拉線的中點。
上圖中包含了極為豐富的數學知識和數學思想。數學真的太美妙了！
（註：反演圓與極圓雖然是同一個圓，但它們涉及的對象有所不同。在討論反演時，先要設定一個定圓，叫反演圓，然後討論點與點之間的反演變換。比如上圖中，點A與點A'是反演的關係。而點A與過點A'與OA'垂線的直線BC也存在一種對應的關係。這是一種點與直線的對應關係，其中的直線叫做點的極線，而點叫做直線的極點。極點與極線之間的對應關係叫做配極關係。BC上的點B與過點A的直線B'C'也是這種配極的關係。有了這種配極關係，軌跡就不僅僅被看成是點的運動，更可以是看成直線的包絡；圓錐曲線的產生也會變得特別美妙。以後幾期我會具體講一講這方面的內容。）