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一、求方程(組)的解及解的取值範圍
例1若x2＋2x＋y2－6y＋10＝0，x，y為實數．求x，y(原初中代數第四冊第207頁3(2)題)
解：將方程看成是關於x的一元二次方程，由於x，y為實數．
∴Δ＝22－4(y2－6y＋10)＝－4(y－3)2≥0．
即(y－3)2≤0，於是y＝3，進而得x＝－1．
例2已知a，b，c為實數，滿足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值範圍．(第一屆「希望杯」全國數學競賽題)
例3已知實數x，y，z滿足x＝6－y，z2＝xy－9，求x，y的值．
證明：∵x+y＝6，xy=z2+9則x，y是一元二次方程a2－6a＋z2＋9＝0的兩個實數根，
則有Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0，即z2≤0．
因z為實數，∴z＝0，從而Δ＝0，
故上述關於a的方程有相等實根，即x＝y＝3．
二、判斷三角形形狀
例4若三角形的三邊a，b，c滿足a(a－b)＋b(b－c)＋c(c－a)＝0．試判斷三角形形狀．
三、求某些字母的值．
例5 k為何值時，(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)＋k是一完全平方式．
解：原式＝(x2＋8x＋7)(x2＋8x＋7＋8)＋k
＝(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k
令(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k＝0，因原式是完全平方式，則其根的判別式，
Δ＝82－4k＝0，即k＝16．
例6如果x2－y2＋mx＋5y－6能分解成兩個一次因式的積，試求m的值．
例7 a為有理數，問：b為何值時，方程x2－4ax＋4x＋3a2－2a＋4b＝0的根是有理數．
四、證明不等式
五、求函數的最大值最小值
六、證明實數存在性問題
七、在平面幾何中的應用
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