九年級數學必考題:一元二次方程根的判別式與韋達定理探究

2020-12-13 五分鐘學數學

一元二次方程常見考點：①定義②解法③根的判別式④根與係數的關係⑤應用題

例1：如果關於x的一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，那麼稱這樣的方程為「倍根方程」．例如，一元二次方程x﹣6x+8＝0的兩個根是2和4，則方程x﹣6x+8＝0就是「倍根方程」．

（1）若一元二次方程x﹣3x+c＝0是「倍根方程」，則c＝______；

（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是「倍根方程」，求代數式4m﹣5mn+n的值；

（3）若關於x的一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）是「倍根方程」，求a，b，c之間的關係．

【分析】（1）由一元二次方程x﹣3x+c＝0是「倍根方程」，得到x+2x＝3，2x＝c，即可得到結論；

（2）解方程（x﹣2）（mx+n）＝0（m≠0）得，x＝2,x=n/m.由方程兩根是2倍關係，得到x＝1或43，代入解方程即可得到結論；

（3）根據「倍根方程」的概念得到原方程可以改寫為a（x﹣t）（x﹣2t）＝0，解方程即可得到結論．

【點評】本題考查了根與係數的關係：若x，x是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x+x＝﹣a/b，x1x2＝a/c．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程．

例2：已知關於x的一元二次方程（a+b）x+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．

（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，並說明理由；

（2）如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，並說明理由；

（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．

【分析】（1）將x＝﹣1代入方程中，化簡即可得出b＝c，即可得出結論；

（2）利用一元二次方程有兩個相等的實數根，用△＝0建立方程，即可得出a2+c2＝b2，進而得出結論；

（3）先判斷出a＝b＝c，再代入化簡即可得出方程x2+x＝0，解方程即可得出結論．

【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等邊三角形的性質，解一元二次方程，解本題的關鍵是建立方程．

例3：已知關於x的方程x﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，x、x是此方程的兩個實數根，現給出三個結論：①x≠x；②xx＜ab；③x+x＜a+b．則正確結論的序號是________．（填上你認為正確結論的所有序號）

【分析】（1）可以利用方程的判別式就可以判定是否正確；

（2）根據兩根之積就可以判定是否正確；

（3）利用根與係數的關係可以求出x12+x22的值，然後也可以判定是否正確．

【點評】本題考查的是一元二次方程根的情況與判別式△的關係，及一元二次方程根與係數的關係，需同學們熟練掌握．

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