[遇見數學創作小組]作者： 露露。會計，理工女，數學愛好者。(><)
最近，一道看似簡單的概率題在網上引起了大家的熱議，題目是這樣的：
三個相同的盒子裡各種 2 個球，其中一個盒子裡放了 2 個紅球，一個盒子裡放了兩個藍球，一個盒子裡放了紅球藍球各一個。隨機選擇一個盒子後從中隨機摸出一個球是紅球，則這個盒子中另一個球是紅球的概率是多少？
這個題的正確答案是 2/3，有很多方法可以說明這一點。
第一種方法我們可以把盒子中的每一個球編上序號，第一個盒子裡的球為 R1，R2，第二個盒子裡的球為 B1，B2，第三個盒子裡的球為 R3, B3。我們隨機摸出一個紅球共有三種等可能的情況，即 R1，R2，這三種可能性中有兩種（R1，R2）這個盒子中另一個球為紅球，只有一種可能性（R3）這個盒子中另一個球為藍球，所以這個盒子中另一個球是紅球的概率為 2/3。
當然我們還可以用公式計算得出結論。在概率論中，在已知事件 B 已經發生的情況下，事件 A 發生的概率就記做 P(A|B)，它應該等於 P(AB)/P(B)，即 A 和 B 同時發生的概率除以 B 自身發生的概率。例如一個國際班裡有 10 個學生，3 名中國人，2 名日本人，5 名美國人，隨機選出一名學生，已知他來自亞洲，則他來自中國的概率為 3/10 除以 5/10 等於 3/5。而上述公式中 P(AB) 又可以等於 P(B|A)P(A)，因此我們得到公式。
這個公式叫做貝葉斯(Bayes)定理
在此題中，
實際上，這個問題看似簡單，但曾經迷惑了很多人。在第一次世界大戰結束時，曾經有「騙子」用這個遊戲在街頭設賭局，騙子讓圍觀者隨機從一個盒子中摸出一個球，若是紅球，騙子會說「我賭一美元箱子中另一個球也是紅球」，若摸出藍球，騙子會說「我賭一美元箱子中另一個球也是藍球」，騙子用這個小小的把戲最終騙了人們許多錢，因為他的概率不是一半一半，騙子贏的可能性遠大於輸的可能性。
如果你還是覺得困惑，我們來看下面這個關於概率的例子。
假如你認識了一個朋友，她說她有兩個孩子，其中一個是女孩，那麼她的兩個孩子都是女孩的概率是多少
答案是 1/3。兩個孩子一共有四中等可能性「女男，男女，女女，男男」，其中一個是女孩，但並不知道女孩是老大還是老二，因此排除「男男」的可能，有三種等可能的情況，因此「兩個都是女孩」是可能出現的三種等可能的情況之一，概率為 1/3。或者用貝葉斯公式
我換一種問法，你認識了一個朋友，並且看見了她帶了一個女孩，她說「我有兩個孩子，這個是我的女兒。」問她的兩個孩子都是女孩的概率是多少。
答案是1/2。
你是不是很起奇怪，這和上一題的問法有什麼區別？有的，因為你見到了這個女孩，即使你不知道她是老大還是老二，都只有兩種等可能的情況。若她是老大，則等可能的情況為「女男，女女」， 若她是老二，則等可能的情況為「男女，女女」，不論哪一種情況，兩個都是女孩的概率均為 1/2，因為她不可能既是大女兒又是小女兒，條件和所求的結果是相互獨立的事件，不符合條件概率的定義，不能用貝葉斯公式計算。
我們在重新看一開始說的紅球和藍球的問題，隨機選擇一個盒子後從中隨機摸出一個球是紅球，我們不可能知道這個球是來自哪個盒子裡的，這樣的話這道題就失去了意義，我們只知道它要麼是來自第一個盒子，要麼是來自第三個盒子，但是來自這兩個盒子的概率並不是等可能的，來自第一個盒子裡的概率是來自第三個盒子的兩倍，這就造成了答案是 2/3 這個看似反直覺的結果。
其實在我們生活中也有很多關於條件概率的例子，例如歐冠半決賽，利物浦半決賽對陣巴塞隆納，在一場比賽都沒打的情況下問利物浦能晉級的概率為多少和在利物浦首回合0比3輸給巴薩後再問利物浦能晉級的概率是多少肯定是不一樣的，因為後者就是一個條件概率，在利物浦首回合 0 比 3 輸給巴薩的條件下，能晉級的概率肯定會大大下降，但是神奇的利物浦確偏偏用了一個 4 比 0 進行了大逆轉，我也只能感嘆，足球真的是一個令人著迷的運動，它不是可以用概率計算出來的！(完)