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祝大家2021年新年快樂！
今天所講，我先不說，您只管往下看，不會讓您失望的。相信我。
還是從我們大家都熟知的正五邊形說起。《彭羅斯密鋪》（2020-12-27）那期中講到過一種正五邊形的畫法，那裡不管這個正五邊形的外接圓。今天我再來講另一種正五邊形的畫法，它是在一個單位圓中進行的，也就是如何把一個圓周五等分，有了五等分點後，正五邊形自然就作出來了。現在先講正五邊形的作法並不是本文的目的，而只是後面所講旋轉密鋪的基礎——我後面將在正五邊形的基礎上搞個好玩的東西，並進行推廣。別急，我先把一個圓周五等分再說。
作一個單位圓。取兩條互相垂直的直徑（不妨一條水平一條垂直），如下圖所示。設圓心為O。半徑就當成一個單位：1。米也好，寸也好，總之我們當它是一個長度單位。
取半徑AO中點D。連接CD。以點D為圓心，以CD為半徑作圓弧，與OB相交於點E。下圖中註明了相關線段的長度。連接CE。然後，從點B開始（當然從圓周上任意一點開始都是可以的），依次作出長度為CE的弦BF，FH，HK，KG和GB，從而得到正五邊形BFHKG。這個方法是先確定長度，即所作正五邊形的邊長。
但這樣作的正確性是需要認證的。上圖中標出了CE（及BF）的長度。我以前在《正五邊形尺規畫法的理論探索》文章中講過如何計算單位圓內接正五邊形邊長的方法（同時還講了其他作正五邊形的方法，包括高斯的方法，點擊文後的連結可以進入閱讀），得出過這個長度值。所以，這樣作圓內接正五邊形才是沒有問題的。但是這個根號套根號的邊長的計算過程畢竟是很複雜的，用到了三角知識，所以，我本期所講卻可以避開邊長的複雜計算，而是直接從角度方面非常簡單地得出點F是圓周的五等分點（若點B為第一個五等分點的話），也就是要證明角BOF等於72°。
下面給出點F的確定過程。我們不必連接CE（之前的步驟相同）。剛才以點A為圓心，以AE為半徑所作之圓弧，也將與圓(綠色)交於兩點，設為F和G。由對稱性，我們只看點F。根據上一講講過的方法，可以作出圖中紅色的正五邊形（邊長為1，對角線為大Φ的正五邊形是確定的和可作出的）。於是，角AOF就是紅色正五邊形的一個內角，度數為108°，從而角BOF等於72°。於是，點F就一定是第二個五等分點（點B是第一個），然後連接線段BF。BF就是與72°圓心角對著的弦，這就說明BF可以作為單位圓內接正五邊形的一條邊。由對稱性，BG也是一條邊。再分別以F和G為圓心，以BF為半徑作圓弧，可以得到H和K兩個五等分點。連接FH，GK和HK。於是，單位圓內接正五邊形BFHKG就作了出來。這個方法與之前方法步數一樣多，只是一個是先連線（CE）再畫弧定點，另一個是先畫弧定點再連線。但兩個方法正確性的論證，第二個方法要簡單得多。
寫著寫著不知不覺又挖掘出來了很多有關正五邊形作法的有趣知識，文章有些長了。那好吧，本篇文章先就此打住，未完待續······。微信公眾號可以發單圖文消息（我一般都是這樣），也可以發多圖文消息。那麼，本期我就發一次多圖文消息，它由兩篇文章構成，第一篇就是本篇，第二篇是第一篇的繼續。兩篇文章合在一起就完整了。本期內容也已經很豐富，並且文後還有兩篇以前所寫相關文章的連結。第二篇講如何從今天所作正五邊形出發，得到下面這個旋轉密鋪。圖中沒有畫完，其實是可以無限地轉下去的，而鋪滿整個平面。想知識怎麼畫的麼，一定要看第二篇（注意，第二篇與第一篇都是本期內容，不要錯過）。
1. 《正五邊形尺規畫法的理論探索》（2018-04-05）
我還講過只用圓規作正五邊形的方法，見下面連結：
2. 《只用圓規作正五邊形》（2017-06-26）