一、題型分析所謂數字推理,就是在每道試題中呈現一組按某種規律排列的數列,但這一數列中有意地空缺了一項,要求考生對這一數列進行觀察和分析,找出數列的排列規律,從而根據規律推導出空缺項應填的數字,然後在供選擇的答案中找出應選的一項,在答題紙上將相應題號下的選項塗黑。
在作答這種數字推理的試題時,反應要快,既要利用直覺,還要掌握恰當的方法。首先找出兩相鄰數字(特別是第一、第二個)之間的關係,迅速將這種關係類推到下兩個相鄰數字中去,若還存在這種關係,就說明找到了規律,可以直接地推導出答案;假如被否定,應該馬上改變思考方向和角度,提出另一種數量關係假設。如此反覆,直到找到規律為止。有時也可以從後面往前面推,或「中間開發」往兩邊推,都是較為有效的。答這類試題的關鍵是找出數字排列時所依據的某種規律,通過相鄰兩數字間關係的兩兩比較就會很快找到共同特徵,即規律。規律被找出來了,答案自然就出來了。在進行此項測驗時,必然會涉及到許多計算,這時,要儘量多用心算,少用筆算或不用筆算。
下面我們分類列舉一些比較典型或具有代表性的試題,它們是經常出現在數字推理測驗中的,熟知並掌握它們的應答思路與技巧,對提高成績很有幫助。但需要指出的是,數字排列的方式(規律)是多種多樣的,限於篇幅,我們不可能窮盡所有的排列方式,只是選擇了一些最基本、最典型、最常見的數字排列規律,希望考生在此基礎上熟練掌握,靈活運用,達到舉一反三的效果。實際上,即使一些表面看起來很複雜的排列現象,只要我們對其進行細緻分析和研究,就會發現,它們也不過是由一些簡單的排列規律複合而成的。只要掌握它們的排列規律,善於開動腦筋,就會獲得理想效果。
另外還要補充說明一點,近年來數字推理題的趨勢是越來越難。因此,當遇到難題時,可以先跳過去做其他較容易的題目,等有時間再返回來答難題。這種處理不但節省了時間,保證了容易題目的得分率,甚至會對難題的解答有所幫助。
□ 等差數列及其變式
【例題1】2,5,8,()
A 10 B 11 C 12 D 13
【解答】從上題的前3個數字可以看出這是一個典型的等差數列,即後面的數字與前面數字之間的差等於一個常數。題中第二個數字為5,第一個數字為2,兩者的差為3,由觀察得知第三個、第二個數字也滿足此規律,那麼在此基礎上對未知的一項進行推理,即8+3=11,第四項應該是11,即答案為B。
【例題2】3,4,6,9,(),18
A 11 B 12 C 13 D 14
【解答】答案為C。這道題表面看起來沒有什麼規律,但稍加改變處理,就成為一道非常容易的題目。順次將數列的後項與前項相減,得到的差構成等差數列1,2,3,4,5,……。顯然,括號內的數字應填13。在這種題中,雖然相鄰兩項之差不是一個常數,但這些數字之間有著很明顯的規律性,可以把它們稱為等差數列的變式。
□ 等比數列及其變式
【例題3】3,9,27,81()
A 243 B 342 C 433 D 135
【解答】答案為A。這也是一種最基本的排列方式,等比數列。其特點為相鄰兩個數字之間的商是一個常數。該題中後項與前項相除得數均為3,故括號內的數字應填243。
【例題4】8,8,12,24,60,()
A 90 B 120 C 180 D 240
【解答】答案為C。該題難度較大,可以視為等比數列的一個變形。題目中相鄰兩個數字之間後一項除以前一項得到的商並不是一個常數,但它們是按照一定規律排列的;1,15,2,25,3,因此括號內的數字應為60×3=180。這種規律對於沒有類似實踐經驗的應試者往往很難想到。我們在這裡作為例題專門加以強調。該題是1997年中央國家機關錄用大學畢業生考試的原題。
【例題5】8,14,26,50,()
A 76 B 98 C 100 D 104
【解答】答案為B。這也是一道等比數列的變式,前後兩項不是直接的比例關係,而是中間繞了一個彎,前一項的2倍減2之後得到後一項。故括號內的數字應為50×2-2=98。
□ 等差與等比混合式
【例題6】5,4,10,8,15,16,(),()
A 20,18 B 18,32 C 20,32 D 18,32
【解答】此題是一道典型的等差、等比數列的混合題。其中奇數項是以5為首項、等差為5的等差數列,偶數項是以4為首項、等比為2的等比數列。這樣一來答案就可以容易得知是C。這種題型的靈活度高,可以隨意地拆加或重新組合,可以說是在等比和等差數列當中的最有難度的一種題型。
□ 求和相加式與求差相減式
【例題7】34,35,69,104,()
A 138 B 139 C 173 D 179
【解答】答案為C。觀察數字的前三項,發現有這樣一個規律,第一項與第二項相加等於第三項,34+35=69,這種假想的規律迅速在下一個數字中進行檢驗,35+69=104,得到了驗證,說明假設的規律正確,以此規律得到該題的正確答案為173。在數字推理測驗中,前兩項或幾項的和等於後一項是數字排列的又一重要規律。
【例題8】5,3,2,1,1,()
A -3 B -2 C 0 D 2
【解答】這題與上題同屬一個類型,有點不同的是上題是相加形式的,而這題屬於相減形式,即第一項5與第二項3的差等於第三項2,第四項又是第二項和第三項之差……所以,第四項和第五項之差就是未知項,即1-1=0,故答案為C。
□ 求積相乘式與求商相除式
【例題9】2,5,10,50,()
A 100 B 200 C 250 D 500
【解答】這是一道相乘形式的題,由觀察可知這個數列中的第三項10等於第一、第二項之積,第四項則是第二、第三兩項之積,可知未知項應該是第三、第四項之積,故答案應為D。
【例題10】100,50,2,25,()
A 1 B 3 C 2/25 D 2/5
【解答】這個數列則是相除形式的數列,即後一項是前兩項之比,所以未知項應該是2/25,即選C。
□ 求平方數及其變式
【例題11】1,4,9,(),25,36
A 10 B 14 C 20 D 16
【解答】答案為D。這是一道比較簡單的試題,直覺力強的考生馬上就可以作出這樣的反應,第一個數字是1的平方,第二個數字是2的平方,第三個數字是3的平方,第五和第六個數字分別是5、6的平方,所以第四個數字必定是4的平方。對於這類問題,要想迅速作出反應,熟練掌握一些數字的平方得數是很有必要的。
【例題12】66,83,102,123,()
A 144 B 145 C 146 D 147
【解答】答案為C。這是一道平方型數列的變式,其規律是8,9,10,11,的平方後再加2,故括號內的數字應為12的平方再加2,得146。這種在平方數列基礎上加減乘除一個常數或有規律的數列,初看起來顯得理不出頭緒,不知從哪裡下手,但只要把握住平方規律,問題就可以劃繁為簡了。
□ 求立方數及其變式
【例題13】1,8,27,()
A 36 B 64 C 72 D81
【解答】答案為B。各項分別是1,2,3,4的立方,故括號內應填的數字是64。
【例題14】0,6,24,60,120,()
A 186 B 210 C 220 D 226
【解答】答案為B。這也是一道比較有難度的題目,但如果你能想到它是立方型的變式,問題也就解決了一半,至少找到了解決問題的突破口,這道題的規律是:第一個數是1的立方減1,第二個數是2的立方減2,第三個數是3的立方減3,第四個數是4的立方減4,依此類推,空格處應為6的立方減6,即210。
□ 雙重數列
【例題15】257,178,259,173,261,168,263,()
A 275 B 279 C 164 D 163
【解答】答案為D。通過考察數字排列的特徵,我們會發現,第一個數較大,第二個數較小,第三個數較大,第四個數較小,……。也就是說,奇數項的都是大數,而偶數項的都是小數。可以判斷,這是兩項數列交替排列在一起而形成的一種排列方式。在這類題目中,規律不能在鄰項之間尋找,而必須在隔項中尋找。我們可以看到,奇數項是257,259,261,263,是一種等差數列的排列方式。而偶數項是178,173,168,(),也是一個等差數列,所以括號中的數應為168-5=163。順便說一下,該題中的兩個數列都是以等差數列的規律排列,但也有一些題目中兩個數列是按不同規律排列的,不過題目的實質沒有變化。
兩個數列交替排列在一列數字中,也是數字推理測驗中一種較常見的形式。只有當你把這一列數字判斷為多組數列交替排列在一起時,才算找到了正確解答這道題的方向,你的成功就已經80%了。
□ 簡單有理化式
二、解題技巧
數字推理題的解題方法
數字推理題難度較大,但並非無規律可循,了解和掌握一定的方法和技巧,對解答數字推理問題大有幫助。
1快速掃描已給出的幾個數字,仔細觀察和分析各數之間的關係,尤其是前三個數之間的關係,大膽提出假設,並迅速將這種假設延伸到下面的數,如果能得到驗證,即說明找出規律,問題即迎刃而解;如果假設被否定,立即改變思考角度,提出另外一種假設,直到找出規律為止。
2推導規律時,往往需要簡單計算,為節省時間,要儘量多用心算,少用筆算或不用筆算。
3空缺項在最後的,從前往後推導規律;空缺項在最前面的,則從後往前尋找規律;空缺項在中間的可以兩邊同時推導。
4若自己一時難以找出規律,可用常見的規律來「對號入座」,加以驗證。常見的排列規律有:
(1)奇偶數規律:各個數都是奇數(單數)或偶數(雙數);
(2)等差:相鄰數之間的差值相等,整個數字序列依次遞增或遞減。
(3)等比:相鄰數之間的比值相等,整個數字序列依次遞增或遞減;
如:2 4 8 16 32 64()
這是一個「公比」為2(即相鄰數之間的比值為2)的等比數列,空缺項應為128。
(4)二級等差:相鄰數之間的差或比構成了一個等差數列;
如:4 2 2 3 6 15
相鄰數之間的比是一個等差數列,依次為:0.5、1、1.5、2、2.5。
(5)二級等比數列:相鄰數之間的差或比構成一個等比數理;
如:0 1 3 7 15 31()
相鄰數之間的差是一個等比數列,依次為1、2、4、8、16,空缺項應為63。
(6)加法規律:前兩個數之和等於第三個數,如例題23;
(7)減法規律:前兩個數之差等於第三個數;
如:5 3 2 1 1 0 1()
相鄰數之差等於第三個數,空缺項應為-1。
(8)乘法(除法)規律:前兩個數之乘積(或相除)等於第三個數;
(9)完全平方數:數列中蘊含著一個完全平方數序列,或明顯、或隱含;
如:2 3 10 15 26 35()
(10)混合型規律:由以上基本規律組合而成,可以是二級、三級的基本規律,也可能是兩個規律的數列交叉組合成一個數列。
如:1 2 6 15 31()
相鄰數之間的差是完全平方序列,依次為1、4、9、16,空缺項應為31+25=56。