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現在你來嘗試回答這樣一個問題，說一家銀行中有好幾萬個帳戶，每個帳戶的儲蓄金額都不一樣，我存了5萬塊錢，潘博士存了8000塊錢，思考盒子存了120162049塊錢，黃博士存了5塊錢。那麼請問，在這幾萬個不同的存款金額中，第一位有效數字它是1的概率有多大？是2的概率有多大？是9的概率又有多大？所謂的有效數字，是指在一個數中，從該數的第一個非零數字起，直到末尾數字止的所有數字，就是該數的有效數字，比如0.618的有效數字就是618，19260817的有效數字就是19260817。直觀上看，第一位有效數字是1是2還是3456789，它們出現的概率應該是一樣的，都是1/9，而且我覺得高考如果出這麼個題，正確答案也必定是1/9，這是符合數學的基本規律的。
但真實情況卻並非如此，事實上人們發現，在很多情況下，第一個數字是1的概率，可要比1/9高多了，而第一個數字是9的概率，則要比1/9低多了。這種違反直覺的現象，便被稱為本福特定律。顧名思義，提出這一定律的是一個名叫本福特的人，他的全名是法蘭克-本福特，這哥們原本是美國通用電氣公司的一位電氣工程師，後來他迷上了一系列與概率有關的問題，於是就發現了本福特定律。不過，本福特定律最早的發現者，其實並不是本福特，而是19世紀的美國天文學家西蒙-紐康，1877年，紐康成為了美國航海天文歷編制局局長，組織同行們重新計算主要的天文常數，在這些繁雜的天文計算中，常常需要用到對數表，當時那個年代也沒什麼網際網路，所以對數表只能做成一本大書，天天查夜夜查，查著查著紐康就發現了一個奇怪的現象，那就是在計算所用到的數值中，首位數是1的概率似乎更高，因為以1開頭的數的那幾頁，要比其他頁破爛的多。於是在1881年，紐康就發表了一篇文章，提到並分析了這一現象，不過在當時，紐康的發現並沒有引起人們的注意，直到57年後的1938年，本福特才重新發現了這一詭異的現實。
本福特
西蒙·紐康
而且本福特並沒有停留在對數表中，他還將這一現象推廣到了更大的領域中，他收集並研究了20000多個統計數據，最終經過大量複雜的統計分析之後，本福特總結出了首位有效數字的概率分布，還搞出來一個公式，他將首位數字為n的概率表示為：P(n)=logd(1+1/n)。其中，d代表數據所使用的進位，對於十進位數據來說，d就是10。所以首位有效數字為1的概率就是lg2=30.1%，首位有效數字是2的概率是lg3/2=17.6%，首位有效數字為3的概率是lg4/3=12.5%，然後逐次減小，首位有效數字是9的概率最小，只有4.58%。
現在我們看到的這張表中，包含了各種各樣的數據，比如流域面積、人口、物理常數、分子量、原子量等等等等，我們可以發現，雖然數據的來源大相逕庭，但首位有效數字出現的概率，卻與本福特總結出來的公式驚人的吻合。由此可見，本福特定律的適用範圍那是非常廣泛，自然界和日常生活中，我們獲得的大多數數據，其實都符合這個定律，換言之，這些數據都符合對數的分布規律，本福特定律具有著「尺度不變性」。
當然了即便如此，本福特定律還是有其限制性的，它主要受限於以下幾個因素：首先，數據的樣本量要足夠大，怎麼也得個千八百才能說得過去，你說我就整10個數，你給我找找本福特定律，我看你長得像本福特定律。其次，數據的跨度必須足夠大，很多時候大小都會相差幾個數量級，比如說咱們可以統計一下各種東西的高度，一本書高度20cm、大樹高5m、工地上的塔吊高100m、平安中心高600m、珠穆朗瑪高8844m，這些數據綜合在一起才能看出來本福特定律，與之相反的，你要就是統計成年人的身高，那是看不出來本福特定律的，因為首位有效數字，我估計99%都是1。另外，人為規則的數據也不滿足本福特定律，比如說身份證號，遼寧省全是以2開頭、廣東省全是以4開頭，這種人為的數據是不鳥本福特定律的，還比如說手機號碼也是如此，我想手機號碼應該100%都是以1開頭。
妥了現在問題就來了，為什麼會出現本福特定律呢？我們該如何理解這一神奇的現象呢？對此，人們從直觀出發，提出了很多解釋。第一種解釋認為，當我們計算數字的時候，順序總是從1開始，然後234直到9，如果說到9就停止了，那麼所有數字的起首機會都會相同，但如果繼續下去，9之後我們馬上就會迎來一大堆1。現實生活中這種情況很常見，比如說地址號碼，一般來說，每條街道的號碼都是從1算起，而街道的長度肯定是有限的，號碼排到某一個數就終止了，而另一條街還是從1開始排列號碼，如此一來，表面看起來，1開頭的號碼就要多一些。
不過毫無疑問，這種解釋其實是很牽強的，因為它太不數學了，更為關鍵的是，大部分符合本福特定律的數據，其實與街道編號完全是兩碼事，比如說物理常數，這哥們可就沒有固定的套路。於是人們又提出了另一套解釋方法。
這個解釋認為，本福特定律的根源，在於數據的指數增長。對於指數增長的序列來說，由最初的數字1增長到另一個數字2，一般都需要更多的時間，所以1出現的概率自然就更高了。比如說你在銀行裡存了100塊錢，年利率是10%，那麼在前25年中，你每年的存款金額將是：100,110,121,133,146,161,177,195,214...一直到985，在這組數據的25個數中，首位數字為1的有8個，佔比32%，為2的有4個，為3的有3個，為9的只有1個。也就是說，從1漲到2很慢，但從2漲到3那就快多了，從3漲到4那就更快了。毫無疑問，指數增長規律的數列，確實符合本福特定律。而且有意思的是，就算你不存100塊錢，改成200塊錢，情況也是一樣的，具體情況，各位老闆可以自己找來算算。
當然了這種解釋雖然更高端一些，但其實也還是不夠數學，直到1995年，美國數學家泰德-黑爾才從數學理論上，對本福特定律作出了解釋，並進行了嚴謹的數學證明。那麼他是怎麼證明的呢？對此我只能告訴你四個字：無可奉告。如果你就是想知道的話，我還可以告訴你四個字：另請高明。如果你沒有請到高明，或者請到了高明，結果人家給你解釋的你也聽不懂的話，那也沒關係，畢竟這玩意兒太數學了。
泰德·黑爾
好了說到這兒，你可能會以為，本福特定律是挺有意思，但它恐怕也只是一個神奇的數學現象，是一個數字遊戲，這玩意兒沒有什麼用。但這就有點小看本福特定律了，事實上，本福特定律在現實中有著極大的作用，因為人們從現實中發現了本福特定律，所以我們也可以從本福特定律出發，來判斷一些所謂的現實到底現不現實，而它最大的應用，便是鑑別數據造假。
美國華盛頓州曾經偵破過一起重大的投資詐騙案，金額高達1億美元，具體過程咱就不細說了，反正就是騙投資人的錢，當時詐騙犯從5000多個投資者手中籌集了大量資金，而為了讓投資人安心，這群哥們便頻繁的轉帳，給投資者造成一種錯覺，那就是這家公司的生意老好了，天天流水老大了。不過後來一位會計師發現了問題，他將7萬多個與支票和匯款有關的數據給收集起來，結果發現這些數據與本福特定律大相逕庭，最終經過3年的司法調查，這個投資騙局終於敗露，詐騙主犯被判20年監禁。還比如說在2001年，美國能源巨頭安然突然間黃了，它為什麼黃了，原因就在於公司高管通過做假帳對每股盈利數進行造假，結果被人發現了，而發現的依據也正是本福特定律。
據說，還有人曾利用本福特定律來檢查柯林頓在任期間的報稅數據，不過沒有發現什麼破綻。這或許說明兩個問題，一是柯林頓人家確實沒問題，二是這哥們也對本福特定律了如指掌。有道是智者千慮必有一失，我相信對於很多騙子來說，他能想到1萬個細節，卻未必能想到本福特定律，所以說一個不了解本福特定律的騙子，絕對不可能成為一個優秀的韭菜收割機。