轉化思想解決銳角三角形存在性問題

2021-02-19 中考數學研究

    在研究三角形的時候，一般是從它的基本元素出發，即從邊和角兩方向進行考慮，角度變化引起三角形形狀變化．現在來看一下一道關於銳角三角形的存在性問題．

    我們之前學過直角三角形的存在性問題，判斷一個三角形是否為直角三角形，可以從角和邊的角度進行思考，方法一般是解析法和勾股定理．

    現在判斷一個三角形是銳角三角形，從定義上必須滿足三個角都是銳角或最大角為銳角，銳角並不好分析，但最容易聯想到的是直角，可以先假設三角形為直角三角形，以直角情況為參照，找到臨界值，點在此基礎上進行變化，確定範圍即可．

     判斷三角形的形狀，不僅可以從角入手，還可以從邊出發．那麼一個銳角三角形的三邊存在什麼樣的關係呢？其實課本上也有這方面的探討

     這是北師大教材課本上第11頁的一道題，僅由邊的長度來判斷三角形的形狀，我們一起來證明一下：

 

 

 綜上，銳角三角形存在性問題總方向分為兩種：角和邊．從角的方向，需滿足均為銳角，所以可以先假設為直角，找到臨界值判斷取值範圍．從邊的角度，從勾股定理出發，推導銳角三角形三邊滿足的關係，列出不等式．最後，適當擴充一點高中知識，從向量內積出發，列出式子進行求解．

    在此基礎上，我們再次思考，如果題意改為鈍角三角形，D點縱坐標又該如何變化呢？

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