巴赫等音樂家們所用的音律,最早是中國人用算盤算出來的

2020-12-23 中科院物理所

1990年，黃霑受邀為徐克的電影《笑傲江湖》譜曲，前前後後寫了6稿徐克都不滿意。「走投無路」的黃霑從古樂中得到靈感，用中國傳統五聲音階宮、商、角、徵（zhǐ ）、羽寫出《滄海一聲笑》的基礎旋律。

徐克一聽拍案叫絕，一首經典「神曲」就此被傳播開來。然而中國古音的歷史與成就可不止「宮商角徵羽」這麼簡單，細算起來，就算是影響了整個西方古典音樂史的巴赫也曾深受中國傳統音律的啟發。

● 《笑傲江湖》經典片段

音律，是數學與藝術緊密結合的產物。不管是古代音律的五聲音階，還是現代通用的十二平均律，無一不是經過細緻數學計算的產物。而中國在音律發展史上的步步領先，也體現了我們民族在數理上的過人之處。

中國古代音律的起源，要追溯到一位人盡皆知的歷史人物——春秋時期的管仲。

● 被譽為「華夏第一相」的管仲

古籍《管子·地員篇》中記載了世界音樂史上最早的一種求律方法，史稱「三分損益法」。原文是這樣寫的：

凡將起五音凡首，先主一而三之，四開以合九九，以是黃鐘小素之首，以在宮；三分而益之以一，以百有八，為徵；不無有三分而去其乘，適足以是生商；有三分而復於其所，以是成羽；有三分而去其乘，以是成角。

翻譯過來的大意就是：想要求出五音，首先應該找出一個標準音，即「黃鐘」，也就是「宮」音。這個音被「三分四開以合九九」，那可以假定其對應的弦長比數為81。

接著將宮音的長度增加三分之一，算出低四度的「徵」音，那麼「徵」就是81+81/3=108；再將徵音的長度減去三分之一，可得出徵的高五度音「商」，為108/3*2=72；把商音的長度增加三分之一，可得它的低四度音「羽」，為72+72/3=96；最後把羽音減去三分之一，可得弦長比數為64的「角」音。

● 由三分損益法得出的五音

這種五聲音階法在中國古代音樂中被稱為「正聲」，是古今中國民間音樂最為常見的音階形式。事實上，由此推算出來的「宮商角徵羽」對應現代音律就是「do、re、mi、sol、la」。

大家會發現「fa」跟「si」這兩個現代音律不見了，但其實按照管仲的「三分損益法」，完全可以繼續計算細分下去。加上「fa、si」的七聲音階甚至是十二律都可以用這個方法往下演算出來。

而主要的問題在於，這個公式算出來的五聲音階儘管悅耳動聽，但是相鄰音階之間的頻率之比卻是不固定的。根據上面宮商角徵羽的數值比例計算，大部分音階之比是1.125，而中間總會有一個比是1.185循環……

所以「三分損益法」可以求出「十二律」，在《呂氏春秋·音律》篇中也確實記載了從「黃鐘」、「大呂」到「無射」、「應鐘」的完整十二律，但這卻是不平均的十二律。

● 《呂氏春秋·音律》中記載的古音十二律

這種十二律會出現「仲呂極不生」、「黃鐘不能還原」的現象，暴露出十二律不能回歸本律及無法旋宮轉調的問題。是的，早在上千年前，我們的古人就已經不滿足於一個調子到底的音樂。

想要轉調，就必須解決十二律不平均的數學難題。

我們把目光轉到西方，西方音樂在我們的印象中似乎十分發達。貝多芬、莫扎特、巴赫……無數音樂偉人構成了一個龐大的西方古典音樂體系，那麼他們是如何解決這個難題的呢？

● 巴赫肖像

事實上，西方音樂世界因為前期發展較慢，直到管仲去世近150年後才遇到這個難題。由古希臘哲學家、數學家畢達哥拉斯提出的音律「五度相生法」與管仲的「三分損益法」有著驚人的相似度。

而五度相生法創造出來的西方五聲音階，面臨著與中國古代音律一樣的「不平均」問題。在中國，先後有漢代京房六十律、五代劉燀十二等差律、宋代蔡元定三分損益十八律等等嘗試出現，南北朝時期甚至出現過三百六十律這種「大數據」。

然而這些音律要不就還是不能成等比例，要不就是強行等比而忽略了音律的動聽韻律。直到公元1587年明代朱載堉「新法密率」的問世，才完美解決了這個困惑了東西方音樂家、數學家近兩千年的歷史難題。

簡單來講，朱載堉就是將一個八度平分成了十二份來求這「十二平均律」。那麼從第一份到第十二份，則必須是兩倍（一個八度）的關係。假定第一個音律為X，那麼它必須被某個固定數值乘12次之後變成最終的2X。

● 朱載堉著《樂律全書》

這個固定數值以現在的數學語言看來是12次根號2，對於現代人來說，不過是按幾下計算機的問題。但在明朝的朱載堉手中，就是「徒手開十二次根號」的數學難題。

為此，朱載堉特製了一個多達81位的巨型算盤，靠人力硬生生把它給解出來了。解出來後，朱載堉不僅製作出了世界上第一架定音樂器，還將自己的研究成果呈進朝廷。

● 朱載堉令人頭禿的計算結果

55年後，法國的數學家馬林·默森（Marin Mersenne）也在自己的著作中寫出了與朱載堉一模一樣的等程律數學表達式。作曲家巴赫一生極推崇平均律的作曲運用，直接影響了後世無數音樂家。

經由一代代數學家與音樂家的接力配合，才有現代各式各樣音律模式開花齊放的局面。而十二平均律始終佔據主流的突出地位，更體現了人類對於韻律藝術與平衡規律這種玄妙結合的偏愛之情。

至於數理與音律這兩對讓人難以捉摸的雙生子，我們還遠未窮盡對它們的探索。

參考文獻：

Bilibili視頻網：李永樂老師講音律

山東師範大學 《論管子 三分損益法》文/羅天全

協商論壇 《朱載堉：「布衣王子」的科研、音律路》文/ 趙慎珠

福建師範大學文學院 《河圖洛書：朱載堉十二平均律的理論原點》文/黃黎星

來源：手望Sowarm

編輯：GUOmazing

相關焦點

  • 「視頻」馬友友與13國YMCG音樂家隔空合奏巴赫,用音樂聲援全球抗疫
    近日，廣東國際青年音樂周藝術總監馬友友與來自13個國家的YMCG（每屆音樂周都會組建的交響樂團）成員隔空合奏巴赫作品。發起人、青年音樂家林晶詩與陳穎蕾表示，「希望用音樂連結你我，連結世界每一個角落，為全球受疫情波及的人們帶來安慰。」
  • 貝多芬、巴赫,這些音樂家,居然也是打工人?
    前不久小印的微博被各種「打工人」給刷屏了，「打工熱，打工魂」，「鋼鐵般的意志」，「下輩子還做打工人」…「打工人」是當代社畜的一場口嗨狂歡，不過你知道嗎，那些看似站在職業頂端的音樂家們也是打工人？巴赫、亨德爾、莫扎特、貝多芬……想都不用想，隨口就能報出一長串名字。
  • 音樂家那些事 | 鄉村掃地僧巴赫
    巴赫在古典音樂圈是個大神級的存在。隨便哪個古典作曲家排行榜，他都穩進前三名，狀態好的時候，甚至能榮登榜首。很多人可能並不知道，巴赫出名其實只是最近兩百年的事，而那時，生前默默無聞的他，已經去世了一百多年。如果用一個詞來形容巴赫的一生，那只能是——平凡。
  • 天才巴赫:用音樂給世界最深的安慰
    2017年，王健應邀擔任英國伯明罕音樂學院大提琴系國際部主席，華人音樂家在音樂教育的國際舞臺上，發揮著越來越重要的作用。　　對王健而言，巴赫是他內心永存的密室，是他靈魂的避難所。巴赫的音樂享譽世界，但他認為，現代人的生活安逸，難以體會到巴赫時代人們精神世界的敏感，需要具備肅靜的能力，用心聆聽，才能真正抵達巴赫的音樂世界。
  • 用巴赫抵抗庸俗的社會風氣
    對我來說，她在中國出名的現象，有偶然性也有必然性。從大環境來講，如果大家都關注巴赫，說明這個社會是相對穩定的，這樣大家才有閒情逸緻去了解巴赫，如果現在正在打仗，估計這個事就不成了。最近這些年，中國的古典音樂聽眾，聽了很多古典音樂演出的唱片，但是大家聽的大多是浪漫主義的音樂，演奏的多是明星式的音樂家，他們的演奏還是炫技式的居多，對巴赫的關注比較少。
  • 巴赫的性格與音樂風格丨四枚個性標籤丨神秘的數位音樂家
    可以說，巴赫的整個少年時期都浸潤在豐厚的宗教土壤中，系統的宗教學習，把巴赫培養成為一個虔誠的路德新教徒。　　在他的一生中，虔誠的宗教性首先體現在他的人生觀上，他認為音樂是神性的表達，而自己的音樂才華不過是上帝的恩賜，所以他將自己的音樂天賦悉數奉獻給了世人。路德信仰中認為職業是上帝安排的任務，是人的天職，人們應在所處的地位上盡到所賦予的責任和義務。
  • 如何用巴赫古典音樂平衡身心、療愈情緒?(附冥想音頻+配樂)
    音樂會上人們被巴哈的博大精深所震動——近百年前就有了這麼偉大的音樂，而人們竟充耳不聞。巴赫的音樂代表著整個巴羅克音樂的最高峰，而巴羅克音樂時代的終結，也是在巴赫去世那年——1750年。 巴赫生於愛森納赫市的音樂世家，在巴赫一家幾代人中間曾出現數十名音樂家。在這個家族所出的二十多代音樂家中，以巴赫的成就最高。
  • 音樂家也追星！盤點那些追與被追的西方古典音樂家們
    泰勒·斯威夫特是現今風靡全球流行樂壇的一位超級巨星，她被國內的粉絲們親熱地稱呼為「黴黴」。、手套等個人物品，留作收藏；上流社會的貴婦人更是瘋狂，把自己的金銀首飾大把大把地往臺上扔，聽得一排排集體暈倒。但是他同時也是大師巴赫的忠實崇拜者，挖掘並親自指揮上演了巴赫已經沉睡近百年的名作——《馬太受難曲》。從此，巴赫音樂中的藝術價值才能被世人更多的了解。
  • 馬友友帶青年音樂家開啟「巴赫」音樂之旅
    當天,音樂周藝術委員會主席餘隆、藝術總監馬友友與導師團隊、青年音樂家集體亮相,現場展開交流。已經連續第四年擔任音樂周藝術總監的馬友友此次將和導師團帶領青年音樂家開啟「巴赫」音樂之旅,他更鼓勵大家在音樂周要保持深入思考,尋找自己音樂生涯的「黃金時刻」。 2020年是德國音樂家約翰·塞巴斯蒂安·巴赫335年誕辰,本屆音樂周將以他和他的音樂為主線,貫穿音樂周的始終。
  • 紀念音樂家巴赫逝世270周年:他讓神聖人性,讓人性神聖
    巴赫的音樂，在大部分孩子的眼裡，似乎是毫無章法的組合、再組合，猶如一面銅牆鐵壁構造出來的建築，一道極難待解的數學習題；巴赫，也是鋼琴演奏家們需要跨越的最後一座高峰，其音樂中淵博的複雜性，包容著無限變化，童年時能夠彈奏的曲子，多年後竟然又變幻出了新的秩序。
  • 音樂家的親情
    儘管有少數特例，例如據說貝多芬的父親（一個二流音樂家）就對小貝多芬很粗暴而幾近虐待， 他經常喝得醉醺醺，然後半夜回家把小貝多芬拖起來練琴：但大多數音樂家就像 「音樂之父」巴赫一樣，從內心深處熱愛子女， 而他們也為這種天倫之情所驅使， 動筆寫下許多不朽的樂曲。
  • 王健 巴赫的音樂是為喚醒人心中的神聖而寫
    著名華人大提琴家王健，是世界上為數不多的能演奏「巴赫無伴奏完整組曲」的音樂家，在大提琴領域，這套組曲難度係數極高，堪稱經典。2017年，王健應邀擔任英國伯明罕音樂學院大提琴系國際部主席，華人音樂家在音樂教育的國際舞臺上，發揮著越來越重要的作用。　　對王健而言，巴赫是他內心永存的密室，是他靈魂的避難所。
  • 西洋業餘音樂家,編寫出義大利文與中文對照,為中國最早雙語書籍
    每天與您分享優質文章~利瑪竇（Matteo Ricci, 1552年1610年）是義大利人，明朝時來到北京，還當了一回業餘的「音樂家」。《西琴曲意》用韻文寫成，琅琅上口，是最早翻譯成漢語的讚美詩。《西琴曲意》受到文人士大夫的歡迎，他們要求利瑪竇刊刻發行。利瑪竇就編寫了義大利文和中文對照的版本予以刊印，這是中國最早的雙語書籍。對中國音樂的不理解利瑪竇認為中國樂器的種類很多，但是「中國人沒有鍵盤式的樂器。
  • 影片《巴赫靈感》與通神性的藝術家巴赫
    巴赫作為一名虔誠的新教教徒,通過宗教音樂形式抒發了對人類災難痛苦的憐憫.同情以及對和平與幸福未來的渴望。復調音樂是巴赫最喜歡的敘事方式,因此復調也是巴赫常用的創作手法。巴赫的音樂具有德國人特有的嚴謹的創作特點,同時有具有自我釋放的獨創性特點。作為一名新教教徒,他把音樂從宗教附屬品的位置上解放了出來。音樂不再總是歌頌上帝,也開始歌唱平凡的生命。
  • 321, 穿越時空的巴赫,酷逗帶你用編程體驗音樂中的大腦芭蕾!
    為什麼巴赫被稱為古典音樂之父？他最有名的作品你知道嗎？作為17世紀巴洛克時代的德國作曲家，巴赫（1685-1750）是音樂史上最重要的一位奠基人。他打下了整個西方音樂的基礎，被公認為「古典音樂之父」。為什麼巴赫會有如此崇高的地位？作曲家當然用作品說話！巴赫的音樂作品數量之多，水平之高，是絕大部分音樂家無法企及的。
  • 「浪漫」的巴赫
    巴赫無疑是音樂歷史上最為重要的作曲家之一，但是事實上大眾，尤其是中國的聽眾們，對於巴赫作品的熟悉程度與其知名度並不匹配。誠然，我們每一個蹣跚學步的琴童或許都學習過巴赫的小步舞曲以及一些簡單作品，而在大劇院舞臺下的音樂會中卻鮮有巴赫的作品被演奏。因此本期我們著重聊一聊巴赫，以及他經常被人誤解的音樂個性。
  • 去千年萊比錫看「巴赫」
    如果恰逢百年或者千年的慶典，那更是要大慶特慶一番的盛世。這不，巴赫的老家今年迎來了萊比錫建城一千周年。巴赫，自然又是首屈一指的話題。或許源於與巴赫的關係，人們似乎已經很難區分巴赫與萊比錫之間的界限。在漫長歷史進程中，萊比錫雖然跟很多音樂家的名字都緊密相連，但沒有一個音樂家可以像巴赫那樣成為萊比錫最至上的榮耀。這個榮耀早就超越了巴赫生活的巴洛克年代。
  • 傳統算盤為何是上二下五珠?珠算口訣是啥
    珠算是以算盤為工具進行數字計算的一種方法，被譽為中國的第五大發明。隨著網絡的不斷發展，現在人們在進行數字計算的時候，基本上會使用計算器，已經很少有人會使用算盤了，下面我們就先來了解一下算盤的結構吧！2013年，聯合國教科文組織保護非物質文化遺產政府間委員會第八次會議在亞塞拜然巴庫通過決議，正式將中國珠算項目列入人類非物質文化遺產名錄。珠算是以算盤為工具進行數字計算的一種方法，被譽為中國第五大發明，伴隨中國人經歷了1800多年的漫長歲月。
  • 書可以慢慢地看,但為何我們不能把音樂放慢了聽丨對巴赫及其音樂的再認識
    巴赫時代音樂家們的演奏風格並沒有錄音可考，我們只能從一些史書的記載中間接地了解到巴赫及其時代的演奏風格。流傳下來的第一手資料只有當時的樂器，我們可以從這些樂器所發出的聲音中想像出巴赫時代的音樂家們演奏出的聲音。比如說巴赫時代的鍵盤樂器是羽管鍵琴和古鋼琴，早期的鋼琴只在巴赫生命的最後幾年時才出現，我們可以推斷出巴赫在演奏他的鍵盤作品時發出的大致是典雅清澈的聲音。