三角形
外角和為360°
作為公認的勞模,平日裡,超模君不但要碼字,工作之餘還要監督表妹做作業,也難怪表妹成績總是能名列前茅。
今天表妹做作業時,遇到一道判斷題:「三角形的內角和等於180°」,她毫不猶豫打了勾。
超模君告訴表妹,這道題你可以打勾,但也要知道這個說法是不完全正確的。
表妹急了,怎麼會呢?課本上明明說「三角形的內角和等於180°」,而且老師上課還再三強調大家一定要記住這個定理呢。
為了從小培養表妹嚴謹的科研精神,超模君決定給她上一課!
我們從小就滾瓜爛熟的「三角形的內角和等於180°」這種數學常識其實是不嚴謹的。我們先從偉大的華人數學家陳省身的一場講學說起。
那是1980年,陳省身教授受邀在北京大學的一次講學中語驚四座:「人們常說,三角形內角和等於180°。但是,這是不對的!」
當時現場一片譁然,目瞪口呆,三角形內角和等於180°不是數學常識嗎?怎麼回事?
緊接著,陳教授就大家的疑惑作出了精彩的解答:
說「三角形內角和為180°」不對,不是說這個事實不對,而是說這種看問題的方法不對,應當 說「三角形外角和是360°」!
把眼光盯住內角,只能看到:
三角形內角和是180°;
四邊形內角和是360°;
五邊形內角和是 540°;
.
n邊形內角和是(n-2)×180°。
這就找到了一個計算內角和的公式,公式裡出現了邊數n。
如果看外角呢?
三角形的外角和是360°;
四邊形的外角和是360°;五邊形的外角和是360°;
……
任意n邊形外角和都是360°。
這就把多種情形用一個十分簡單的結論概況起來了。用一個與n無關的常數代替了與n有關的公式,找到了更一般的規律。
在這次講學中,陳教授給我們傳遞了一個觀點:數學不是羅列更多的現象,也不是追求更妙的技巧,而是要從更普遍的、更一般的角度尋求規律和答案。
不只盯著多邊形的內角看,用一個與n無關的常數代替了與n有關的公式,可找到了更一般的規律:任意n邊形的外角和都是360°。
下面舉個例子,簡單證明任意n邊形的外角和都是360°這個規律。
假設一隻螞蟻在多邊形的邊界上繞圈子(如下圖)。每經過一個頂點,它前進的方向就要改變一次,改變的角度恰好是這個頂點處的外角。爬了一圈,回到原處,方向和出發時一致了,角度改變量之和當然恰好是360°。
這樣看問題,給「任意多邊形外角和等於360°」這條普遍規律找得到了直觀上的解釋。
陳教授在那次講學中,沒有否定「三角形的內角和等於180°」,因為其中涉及歐式幾何和非歐幾何。
「三角形的內角和等於180°」是從歐式幾何裡的公理五(又稱之為平行公設)衍生出來的公理。在歐式幾何裡,「三角形的內角和等於180°」是正確的。
下面簡單證明一下」三角形的內角和等於180°「的一般規律:
隨著數學研究的進步,到了高斯時代,歐氏幾何裡的公理五備受質疑。
俄羅斯數學家羅巴切夫斯基、匈牙利人波爾約表示:第五公理只是公理系統的一種可能選擇,並非必然的幾何真理,即「三角形的內角和不一定等於180°」,從而發現非歐幾裡得的幾何學,即非歐幾何。
舉個例子,地球的赤道、0 度經線和 90 度經線相交構成一個「三角形」,這個「三角形」的三個角都應該是 90°,它們的和就是 270°!
相反,在凹面上的三角形內角和自然小於180°,所以在非歐幾何裡,三角形的內角和不一定等於180°。
我們的生活中存在著許多有趣的三角形,他們的內角和或大於180°,或小於180°,有的還被人們巧妙得利用到各個領域。
比如,可以用作運輸的萊洛三角形(前幾天超模君對萊洛三角形做了詳細的剖析傳送門):
謝爾賓斯基三角形:一個正三角形,挖去一個「中心三角形」(即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形),在剩下的小三角形中又挖去一個「中心三角形」,如此無限循環,謝爾賓斯基三角形面積越趨近於零,而它的周長越趨近於無限大。
三維世界不存在的彭羅斯三角形:彭羅斯三角形被稱為「最純粹形式的不可能」,它將三個不同角度的三角頂角整合為一個整體,因而本應是一個平面的面發生了扭轉,這樣的三角形在三維世界是不可能存在的。
這樣的「三角形」被藝術家巧妙地用在作品中,比如世界名畫:埃舍爾的《瀑布》。
《瀑布》
還有澳大利亞東珀斯的地標建築就是彭羅斯三角形的模型。
澳大利亞東珀斯彭羅斯三角形
股民眼中的三角形:三角形整理突破分析是高階股民必備的技能。
程式設計師眼中的三角形:行吧,在程式設計師的世界裡,什麼都是字母加數字的。
回到開頭和表妹講的題目:三角形內角和等於180°的對與錯。其實在小學裡,學的默認是歐式幾何,所以是正確的。然而在非歐幾何裡,三角形的內角和等於180°就不成立了。
非歐幾何的應用在生活中和歐式幾何一樣十分常見,如在航海學上:地球本身就是曲面的,如果使用歐式幾何,只會得到錯誤的結論。
圖來源於B站肉兔君
近代黎曼幾何學在廣義相對論裡得到了重要的應用。物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。
愛因斯坦在看到了羅巴切夫斯基和黎曼的發現之後,在廣義相對論裡,放棄了關於時空均勻性的觀念,他認為時空是彎曲的。非歐幾何成了解釋相對論的數學工具。
數學的意義就在於,它經常走在其他科學的前面,我們通過數學的研究,可以為其他科學提供很多幫助。
即使學數學會讓人頭涼涼的,依然有人抱著「我不禿誰禿」的死士精神走在數學研究的道路上。
所以這一杯,敬所有愛數學的人兒。
另外,表妹你懂了嘛?
為了喜歡數學
無論寫什麼都像數學題的
數學中毒患者
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