三角形
外角和為360°
作為公認的勞模，平日裡，超模君不但要碼字，工作之餘還要監督表妹做作業，也難怪表妹成績總是能名列前茅。
今天表妹做作業時，遇到一道判斷題：「三角形的內角和等於180°」，她毫不猶豫打了勾。
超模君告訴表妹，這道題你可以打勾，但也要知道這個說法是不完全正確的。
表妹急了，怎麼會呢？課本上明明說「三角形的內角和等於180°」，而且老師上課還再三強調大家一定要記住這個定理呢。
為了從小培養表妹嚴謹的科研精神，超模君決定給她上一課！
我們從小就滾瓜爛熟的「三角形的內角和等於180°」這種數學常識其實是不嚴謹的。我們先從偉大的華人數學家陳省身的一場講學說起。
那是1980年，陳省身教授受邀在北京大學的一次講學中語驚四座：「人們常說，三角形內角和等於180°。但是，這是不對的！」
當時現場一片譁然，目瞪口呆，三角形內角和等於180°不是數學常識嗎？怎麼回事？
緊接著，陳教授就大家的疑惑作出了精彩的解答：
說「三角形內角和為180°」不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對，應當 說「三角形外角和是360°」！
把眼光盯住內角，只能看到：
三角形內角和是180°；
四邊形內角和是360°；
五邊形內角和是 540°；
.
n邊形內角和是（n－2）×180°。
這就找到了一個計算內角和的公式，公式裡出現了邊數n。
如果看外角呢？
三角形的外角和是360°；
四邊形的外角和是360°；五邊形的外角和是360°；
……
任意n邊形外角和都是360°。
這就把多種情形用一個十分簡單的結論概況起來了。用一個與n無關的常數代替了與n有關的公式，找到了更一般的規律。
在這次講學中，陳教授給我們傳遞了一個觀點：數學不是羅列更多的現象，也不是追求更妙的技巧，而是要從更普遍的、更一般的角度尋求規律和答案。
不只盯著多邊形的內角看，用一個與n無關的常數代替了與n有關的公式，可找到了更一般的規律：任意n邊形的外角和都是360°。
下面舉個例子，簡單證明任意n邊形的外角和都是360°這個規律。
假設一隻螞蟻在多邊形的邊界上繞圈子（如下圖）。每經過一個頂點，它前進的方向就要改變一次，改變的角度恰好是這個頂點處的外角。爬了一圈，回到原處，方向和出發時一致了，角度改變量之和當然恰好是360°。
這樣看問題，給「任意多邊形外角和等於360°」這條普遍規律找得到了直觀上的解釋。
陳教授在那次講學中，沒有否定「三角形的內角和等於180°」，因為其中涉及歐式幾何和非歐幾何。
「三角形的內角和等於180°」是從歐式幾何裡的公理五（又稱之為平行公設）衍生出來的公理。在歐式幾何裡，「三角形的內角和等於180°」是正確的。
下面簡單證明一下」三角形的內角和等於180°「的一般規律：
隨著數學研究的進步，到了高斯時代，歐氏幾何裡的公理五備受質疑。
俄羅斯數學家羅巴切夫斯基、匈牙利人波爾約表示：第五公理只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，即「三角形的內角和不一定等於180°」，從而發現非歐幾裡得的幾何學，即非歐幾何。
舉個例子，地球的赤道、0 度經線和 90 度經線相交構成一個「三角形」，這個「三角形」的三個角都應該是 90°，它們的和就是 270°！
相反，在凹面上的三角形內角和自然小於180°，所以在非歐幾何裡，三角形的內角和不一定等於180°。
我們的生活中存在著許多有趣的三角形，他們的內角和或大於180°，或小於180°，有的還被人們巧妙得利用到各個領域。
比如，可以用作運輸的萊洛三角形（前幾天超模君對萊洛三角形做了詳細的剖析傳送門）：
謝爾賓斯基三角形：一個正三角形，挖去一個「中心三角形」（即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形），在剩下的小三角形中又挖去一個「中心三角形」，如此無限循環，謝爾賓斯基三角形面積越趨近於零，而它的周長越趨近於無限大。
三維世界不存在的彭羅斯三角形：彭羅斯三角形被稱為「最純粹形式的不可能」，它將三個不同角度的三角頂角整合為一個整體，因而本應是一個平面的面發生了扭轉，這樣的三角形在三維世界是不可能存在的。
這樣的「三角形」被藝術家巧妙地用在作品中，比如世界名畫：埃舍爾的《瀑布》。
《瀑布》
還有澳大利亞東珀斯的地標建築就是彭羅斯三角形的模型。
澳大利亞東珀斯彭羅斯三角形
股民眼中的三角形：三角形整理突破分析是高階股民必備的技能。
程式設計師眼中的三角形：行吧，在程式設計師的世界裡，什麼都是字母加數字的。
回到開頭和表妹講的題目：三角形內角和等於180°的對與錯。其實在小學裡，學的默認是歐式幾何，所以是正確的。然而在非歐幾何裡，三角形的內角和等於180°就不成立了。
非歐幾何的應用在生活中和歐式幾何一樣十分常見，如在航海學上：地球本身就是曲面的，如果使用歐式幾何，只會得到錯誤的結論。
圖來源於B站肉兔君
近代黎曼幾何學在廣義相對論裡得到了重要的應用。物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。
愛因斯坦在看到了羅巴切夫斯基和黎曼的發現之後，在廣義相對論裡，放棄了關於時空均勻性的觀念，他認為時空是彎曲的。非歐幾何成了解釋相對論的數學工具。
數學的意義就在於，它經常走在其他科學的前面，我們通過數學的研究，可以為其他科學提供很多幫助。
即使學數學會讓人頭涼涼的，依然有人抱著「我不禿誰禿」的死士精神走在數學研究的道路上。
所以這一杯，敬所有愛數學的人兒。
另外，表妹你懂了嘛？
為了喜歡數學
無論寫什麼都像數學題的
數學中毒患者
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