陳省身:三角形內角和不等於180°

2021-02-18 超級數學建模

三角形

外角和為360°

作為公認的勞模,平日裡,超模君不但要碼字,工作之餘還要監督表妹做作業,也難怪表妹成績總是能名列前茅。

今天表妹做作業時,遇到一道判斷題:「三角形的內角和等於180°」,她毫不猶豫打了勾。

超模君告訴表妹,這道題你可以打勾,但也要知道這個說法是不完全正確的。

表妹急了,怎麼會呢?課本上明明說「三角形的內角和等於180°」,而且老師上課還再三強調大家一定要記住這個定理呢。

為了從小培養表妹嚴謹的科研精神,超模君決定給她上一課!

我們從小就滾瓜爛熟的「三角形的內角和等於180°」這種數學常識其實是不嚴謹的。我們先從偉大的華人數學家陳省身的一場講學說起。

那是1980年,陳省身教授受邀在北京大學的一次講學中語驚四座:「人們常說,三角形內角和等於180°。但是,這是不對的!」

當時現場一片譁然,目瞪口呆,三角形內角和等於180°不是數學常識嗎?怎麼回事?

緊接著,陳教授就大家的疑惑作出了精彩的解答:

說「三角形內角和為180°」不對,不是說這個事實不對,而是說這種看問題的方法不對,應當 說「三角形外角和是360°」!

把眼光盯住內角,只能看到:

三角形內角和是180°;

四邊形內角和是360°;

五邊形內角和是 540°;

.

n邊形內角和是(n-2)×180°。

這就找到了一個計算內角和的公式,公式裡出現了邊數n。

如果看外角呢?

三角形的外角和是360°;

四邊形的外角和是360°;五邊形的外角和是360°;

……

任意n邊形外角和都是360°。

這就把多種情形用一個十分簡單的結論概況起來了。用一個與n無關的常數代替了與n有關的公式,找到了更一般的規律。

在這次講學中,陳教授給我們傳遞了一個觀點:數學不是羅列更多的現象,也不是追求更妙的技巧,而是要從更普遍的、更一般的角度尋求規律和答案。

不只盯著多邊形的內角看,用一個與n無關的常數代替了與n有關的公式,可找到了更一般的規律:任意n邊形的外角和都是360°。

下面舉個例子,簡單證明任意n邊形的外角和都是360°這個規律。

假設一隻螞蟻在多邊形的邊界上繞圈子(如下圖)。每經過一個頂點,它前進的方向就要改變一次,改變的角度恰好是這個頂點處的外角。爬了一圈,回到原處,方向和出發時一致了,角度改變量之和當然恰好是360°。


這樣看問題,給「任意多邊形外角和等於360°」這條普遍規律找得到了直觀上的解釋。

陳教授在那次講學中,沒有否定「三角形的內角和等於180°」,因為其中涉及歐式幾何和非歐幾何。

「三角形的內角和等於180°」是從歐式幾何裡的公理五(又稱之為平行公設)衍生出來的公理。在歐式幾何裡,「三角形的內角和等於180°」是正確的。

下面簡單證明一下」三角形的內角和等於180°「的一般規律:

隨著數學研究的進步,到了高斯時代,歐氏幾何裡的公理五備受質疑。

俄羅斯數學家羅巴切夫斯基、匈牙利人波爾約表示:第五公理只是公理系統的一種可能選擇,並非必然的幾何真理,即「三角形的內角和不一定等於180°」,從而發現非歐幾裡得的幾何學,即非歐幾何。


舉個例子,地球的赤道、0 度經線和 90 度經線相交構成一個「三角形」,這個「三角形」的三個角都應該是 90°,它們的和就是 270°!

相反,在凹面上的三角形內角和自然小於180°,所以在非歐幾何裡,三角形的內角和不一定等於180°。

我們的生活中存在著許多有趣的三角形,他們的內角和或大於180°,或小於180°,有的還被人們巧妙得利用到各個領域。

比如,可以用作運輸的萊洛三角形(前幾天超模君對萊洛三角形做了詳細的剖析傳送門):


謝爾賓斯基三角形:一個正三角形,挖去一個「中心三角形」(即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形),在剩下的小三角形中又挖去一個「中心三角形」,如此無限循環,謝爾賓斯基三角形面積越趨近於零,而它的周長越趨近於無限大。


三維世界不存在的彭羅斯三角形:彭羅斯三角形被稱為「最純粹形式的不可能」,它將三個不同角度的三角頂角整合為一個整體,因而本應是一個平面的面發生了扭轉,這樣的三角形在三維世界是不可能存在的。

這樣的「三角形」被藝術家巧妙地用在作品中,比如世界名畫:埃舍爾的《瀑布》。

《瀑布》

還有澳大利亞東珀斯的地標建築就是彭羅斯三角形的模型。

澳大利亞東珀斯彭羅斯三角形

股民眼中的三角形:三角形整理突破分析是高階股民必備的技能。

程式設計師眼中的三角形:行吧,在程式設計師的世界裡,什麼都是字母加數字的。



回到開頭和表妹講的題目:三角形內角和等於180°的對與錯。其實在小學裡,學的默認是歐式幾何,所以是正確的。然而在非歐幾何裡,三角形的內角和等於180°就不成立了。

非歐幾何的應用在生活中和歐式幾何一樣十分常見,如在航海學上:地球本身就是曲面的,如果使用歐式幾何,只會得到錯誤的結論。

圖來源於B站肉兔君

近代黎曼幾何學在廣義相對論裡得到了重要的應用。物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。

愛因斯坦在看到了羅巴切夫斯基和黎曼的發現之後,在廣義相對論裡,放棄了關於時空均勻性的觀念,他認為時空是彎曲的。非歐幾何成了解釋相對論的數學工具。

數學的意義就在於,它經常走在其他科學的前面,我們通過數學的研究,可以為其他科學提供很多幫助。

即使學數學會讓人頭涼涼的,依然有人抱著「我不禿誰禿」的死士精神走在數學研究的道路上。

所以這一杯,敬所有愛數學的人兒。

另外,表妹你懂了嘛?

為了喜歡數學

無論寫什麼都像數學題的

數學中毒患者

超模君創建了一個

「勸你好好學數學群」

現邀請你入群

在這裡你可以

一起唱、跳、rap和

(歡迎pk)

👇

這是「勸你好好學數學群」傳送門

好亮眼

請帶上墨鏡🕶

掃描二維碼後

回復關鍵詞【出家】,拉你入群

本文系網易新聞·網易號「各有態度」特色內容

部分資料來源於網絡

轉載請在公眾號中,回復「轉載」

選購數學科普正版讀物

嚴選「數學思維好物」

送給孩子的閱讀禮物   |   辦公室神器

有益孩子一生的玩具   |   居家高科技

走進數學:人物、趣談、科技、發展史 


相關焦點

  • 三角形內角和不算啥,外角和更有趣
    三角形內角和不算啥,外角和才有趣大家都知道,三角形的內角和為180°,四邊形的內角和為360°,因為四邊形可以分解成兩個三角形,五邊形可以分解成三個三角形
  • 2.三角形的內角和與外角和
  • 三角形內角和一定是 180°嗎?
    你肯定會不假思索地告訴他:「180°!」假如那個人說不是180°,那麼你可能會認為他無知。 其實,「三角形內角和等於180°」只是歐幾裡得幾何學(Euclid Geometry)中的一個定理。也就是說,在歐幾裡得幾何學裡,一個三角形的內角和等於 180°,但如果跳出歐幾裡得幾何學的範圍,一個三角形的內角和就不一定等於 180°!舉個慄子,地球的赤道、0 度經線和 90 度經線相交構成一個「三角形」,這個「三角形」的三個角都應該是 90°,它們的和就是 270°!
  • 第一百三十一記———學習《四邊形內角和》(徐長青)
    生:180度師:嗯,也就是三個內角加起來是180度,我們也和平角比了比。那今天我們的四邊形有幾個內角?(四個)那這四個內角加起來的和,可能是多少度呢?生:可能是360度。生:把四邊形分成2個三角形,因為一個三角形是180度,所以2個就是360度。師:她說的不錯,可能有的同學還不明白,她用的方法是探究的方法。
  • 北師大版四年級數學下冊2.3《三角形內角和》微課視頻+練習
    (1)大的三角形的內角和就大。(        )(2)三角形的內角和與三角形的形狀無關。(         )(3)三角形內角和與三角形的大小無關。(         )2、猜一猜,填一填。(1)如果是直角三角形,三個角分別是60o,(     ),(      )。
  • 四年級數學科4月1日學習內容推薦《三角形內角和》
    一、 學習內容:四年級下冊數學書 24 頁《 三角形內角和 》 二、學習目標: 1、通過 量、剪、 拼 、 折等直觀操作活動探索,並發現三角形內角和等於 180 度 。 2、能運用三角形內角和 的性質 解決日常生活中簡單的實際問題。
  • 陳省身先生專訪
    陳省身:就是我對於現狀不滿意,我要進步,我要是最好,我要做最好的東西,數學研究,數學研究最要緊的還是找名家,還是名家跟不名家很不一樣。李小萌:怎麼不一樣?陳省身:他的了解深刻,他的了解深刻,他許多問題他想過,沒有寫成文章的,都有許多意見都是值得學習的。李小萌:像您到德國碰到的是布拉施克。陳省身:布拉施克。
  • 陳省身微分幾何之父|名校傑英5
    1932年4月,應邀來華講學的漢堡大學教授布拉希克對陳省身影響也不小,使他確定了以微分幾何為以後的研究方向。在清華,陳省身曾經聽過楊振寧的父親楊武之的課,並且做過當時還是本科生的楊振寧的教師。
  • 數學小論文——圓內接多角星的畫法及其內角和的探究
    然而,中文"五角星"不一定指"標準"五角星。中文"五角星"一詞有時亦泛指所有有五隻角的星形物。   那麼六角星怎麼定義呢?   兩個等邊三角形,一上一下連鎖成六角星形,這乃是人們普遍知道的猶太人標誌。凡是猶太人所到之處,都可看到這種標誌。根據後來的解釋,這個六角星形被認為是「大衛王之盾」(Magen David):大衛王打敗巨人戈裡亞時所持的即是六角形的盾。
  • 三角形的兩條邊長分別是3和4,求第三條邊的長度,50%的家長會錯
    它的定義是:由三條不在同一直線上的線段,首尾順次相接,組成的平面圖形叫三角形呢。既然是首尾相接,所以並不是隨便三條線段都能圍成三角形的。這三條邊的長度得滿一定的範圍。這個也是三角形的重要定理:任意兩邊之和大於第三邊。由此可以推出另一個推論:任意兩邊這差小於第三邊。如果給我們三個數,是不是要每兩個都去檢驗呢?
  • 高考數學:三角函數易錯點知識清單!2019高考數學二輪微專題
    (2)角度制與弧度制可利用180°=πrad進行互化,在同一個式子中,採用的度量制度必須一致,不可混用.(3)已知三角函數值的符號確定角的終邊位置時不要遺漏終邊在坐標軸上的情況.5.兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式(1)運用公式時注意審查公式成立的條件,要注意和、差、倍角的相對性,要注意升次、降次的靈活運用,要注意「1」的各種變通.(2)在(0,π)範圍內,sin(α+β)=√2、2所對應的角α+β不是唯一的.(3)在三角求值時,往往要估計角的範圍後再求值.
  • 陳省身——什麼是幾何學
    這是陳省身先生在臺灣大學的演講節選,遺憾的是從網上找來的這篇文章沒有插圖,這影響了文章的魅力。建議大家找來《陳省身文集》好好研讀一番。今天授獎的儀式很隆重,聽了許多人的演講,我非常感動。有機會在此演講,自己覺得非常榮幸,也非常高興。我想從現在起,我們就像平常上課一樣,不怎麼嚴肅,隨便一點。我帶了一些材料,非常遺憾的是沒法投影。不投影也可以,我沒有什麼準備。
  • 由推導多邊形內角和公式所感
    2.個人微信號:llxull 來稿請發QQ郵箱:1416264475@qq.com。3.此平臺大部分文章非原創,其著作權歸原作者所有。凡轉載者請註明出處。謝謝!由推導多邊形內角和公式所感武 璽 在同學們知道了三角形內角和是180度的幾何事實,並且已掌握了把三角形三個內角集中後形成平角的探究方法後,學習多邊形的內角和旨在用已知解決未知。 具體教學時,我放手讓學生大膽探索獲取四邊形內角和的計算方法。找到其基本思路:把四邊形轉化為三角形。
  • 徐自豪|故紙堆裡新材料之吳大任夫婦與陳省身
    他對積分幾何、射影幾何、非歐空間微分幾何和齒輪嚙合理論等都研究精深,是我國最早從事積分幾何研究的著名數學家之一。1949年後長期擔任南開大學教務長和學校領導工作,為我國高等教育事業作出了積極貢獻。吳大任和陳省身是南開同學,是上世紀二十年代數學系最優秀的學生,兩人還是形影不離、無話不談的好朋友,南開姜立夫、饒毓泰教授都對他倆讚賞有加。
  • 朱經武追憶嶽父陳省身
    陳省身先生是二十世紀最傑出數學家之一,在幾何學上的成就能出其右者不多,他也是美國幾何學重生的主導,可是陳先生更是一位平凡的偉人,因他是如此的平易近人,在大家心中也是有血有肉,和藹可親的長者。陳先生成為了我的嶽父。