「全體自然數的和是-1/12」這個驚人的結論已經在網際網路上傳播了許多年，也有許多討論它的文章，往期節目也觸及過這個問題，本期節目集中展示了另一種常人或許可以接受的解釋。
這類悖謬常理的數學結論最容易讓公眾產生「科學家關起門來胡鬧」的錯誤印象，但事實並非如此，在量子物理揭示的無窮現象中，這樣的結論真的能排上實際的用場。
限於表達的形式，我們無法在這期節目裡充分流露出這樣一種觀點：數學並不僅僅是形式的演繹，不僅僅是「大腦分泌物」而已，在嚴格的意義上，數學更接近經驗科學，它同樣以模型和觀察的方式，探索著客觀世界面貌。
－文字稿－
我們曾在往期節目中討論過調和級數發散的問題——在此基礎上，我們不妨關心一個流傳多年的新奇問題：全體自然數的和是-1/12，這是怎麼來的？
一個最通俗，所以也最引人爭議的做法，是一種看上去很簡單的算術算法：
首先令S0=1-2+3-4+5-6……
我們已經在往期節目裡看到過令它收斂到1/4的方法。
再令全體自然數的和為S，減去這個S0，則有：
S-S0=0+4+0+8+0+12+0+16……
也就等於4個S，也就是說-S0等於3個S，所以S等於負十二分之一。
所以雖然往期節目裡一般的收斂法不能直接求出全體自然數的和，但仍然間接暗示了這個怪異的結論。
事實上，不論用什麼方法計算全體自然數的和，只要不是無窮大，就是-1/12。除了上期的拉馬努金和之外，我們再考慮這樣一個更簡單的對象：階乘。
中學課本就講過，某個自然數的階乘是指把不大於這個數的自然數逐個連乘起來，寫作一個感嘆號。比如5！=1×2×3×4×5。1！當然是1，另外根據n！=n（n-1）！取n=1，就有0！也=1。
到此為止，一切都很簡單，很可以理解——但現在如果告訴你（1/2）！= 根號π/2；（-1/2）！= 根號π；（-2）！=∞，你恐怕就會感到困惑了，因為這些「非自然數」的階乘看起來根本沒有意義——如果將這種困惑用數學語言表述出來，就是1/2、-1/2、-2……之類的數字，並不在階乘這種一元函數的定義域上。
正如同如果我們定義了函數f（x）=x+1，其中x∈[1，2]，那麼f（0）就沒有意義一樣。
但與階乘不同的是，這個f（x）未免太簡單了，即便f（0）即便不在定義域內，我們也會不由自主地將它拓展，得到f（0）=1。然後自責到：這個函數既然沒有延伸到x=0，我們又有什麼理由認為它會這樣延伸呢？
然而我們的確有一個極好的理由認為f（0）就=1，這個理由就是「光滑」。
乍看起來，將這一小截線段光滑地延伸出去有無窮多種方案，新加入的曲線只要能在端點處與線段相切，哪怕是兒童一筆畫都沒有問題。
其實並沒有這麼簡單：我們知道，函數某一點的導數就是這一點的切線斜率，那麼對於切點來說，左右兩邊不僅函數值相同，而且導數值也相同，因此看起來很光溜。我們可以稱它為一階可導。
但觀察導數的導數，就會發現切點兩側並不相同，因此這個切點附近二階不可導。
而數學意義上的「光滑」是指「無窮多階都可導」，這樣無窮嚴格的條件排除了所有單純的相切，以至於產生了一個驚人的結論：光滑函數任取其中一小段，就能唯一確定整個函數。
所以要在數學意義上光滑地延長f（x），唯一的結果就是f（0）=1，這種滿足強迫症的操作就叫「解析延拓」——這就有趣了。
階乘是一個定義在全體自然數上的離散函數，畫在平面上就是一串散點，我們會本能地心生不滿，想要將它們光滑地連接起來——在這裡，那些散點就相當於「一小段函數」，而那個連接延伸出來的函數，就是階乘的解析延拓，Γ函數。
但與案例中的f（x）不同，Γ函數在形式上與階乘毫無共通，是一個積分形式的超越函數。
我們不必對此過於介懷，畢竟是哥德巴赫在1722年向伯努利提出了這個問題，並且直到1729年才由更強大的歐拉最終解決，所以有心無力的同學只需觀察這個結論即可：
對於任何自然數，可見Γ函數果然是階乘的延拓。所以對Γ函數取負數和分數的值，就是拓展的階乘運算了。
而要用同樣的理念解決全體自然數的和就精妙得多：無窮大不是一個具體的數，我們先要設法將「全體自然數的和」濃縮在某個函數上才能嘗試延拓——這個函數倒不複雜，就是這個ζ函數。「全體自然數的和」就是它在s=-1時的值。
糟糕的是，自古以來，我們就不知道這個函數的任何數值結果：當s小於1的時候它顯然發散，趨於無窮，而s=1的時候它就是調和級數，我們在往期節目中證明了它不收斂——除此之外就一無所知了。
終於在1735年，歐拉證明了自然數的平方倒數和收斂於π2/6，並在此後數年研究了它的許多性質，同時計算出了全體自然數的和是-1/12這個驚人的結論，以及全體自然數的平方和是0、立方和是1/120這些同樣瘋狂的結論。
最終使這些結論確立起來的是黎曼，他在1859年找到了ζ函數的解析延拓：
這同樣是個積分形式的超越方程，其中的Γ就是階乘延拓後的Γ函數，將s=-1帶入其中，就能輕易得出全體自然數的和是-1/12這個結論。
到此為止，我們至少用四種方法得出了全體自然數的和是-1/12，但是直到今天，我們都不知道這意味著什麼，只知道在量子力學中如果遇到全體自然數和，-1/12代替無窮就總能得到最符合實驗結果的數值。
仔細想一想也的確如此，無窮大從來都是人類想像出來的概念，從來都不是任何觀察到的結果。
於是最有可能的情況是，正如在數軸另一頭發現負數，在數軸兩側發現虛數，這一切都暗示著數軸無窮遠處並非混沌一片，那裡蘊藏著嶄新的數學體系等待我們建立。
本文系網易新聞·網易號「各有態度」特色內容
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