高考數學讓你崩潰,你應該感謝歐拉、高斯、笛卡爾貢獻這些知識點

今天高考就正式結束了，英語和語文怎麼樣還可以蒙一些，反正一頓存在猛如虎，還能掙個一十五，但是數學和理綜不會就是不會，一朵烏雲籠罩心頭，維納斯在衝著你歡樂微笑。一考完數學感覺人生觀世界觀直接崩潰，直接出動了家長大軍進行安撫。接下來，我將為各位盤點一下為高中數學貢獻大部分疑難點的六大數學家。他們是讓你崩潰的直接元兇。

笛卡爾，平面直角坐標系和解析幾何

笛卡爾不僅活躍在政治試卷之中，還為高考數學貢獻了半壁江山。在 16 世紀之前，歐幾裡得幾何佔據了半壁江山，16 世紀以後，由於生產和科學技術的發展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。比如卡普勒三大定律的提出，讓天文學進入了一個新的階段，義大利科學家伽利略發現投擲物體試驗著拋物線運動的。這些發現都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較複雜的曲線，原先歐式幾何的那套方法顯然已經不適應了。

這個時候我們的主人公笛卡爾就出現了，笛卡爾一開始學習的是法學，對於數學他並沒有過多涉獵，但是 22 歲的時候，在街頭上一個小報徵集對一個數學難題的破解方法，笛卡爾成功答對了，從此對數學產生了興趣。

23 歲的時候，他就在不斷思考，怎麼樣把代數融入幾何之中，「我想去尋求一種新的，包含兩門學科的好處，而又沒有它們缺點的方法」。

經過十幾年的研究，41歲的笛卡爾發表了《幾何學》,創立了平面直角坐標系，標誌著解析幾何的誕生，笛卡爾的解析幾何把代數方法移植到幾何領域,使代數、幾何融為一體。

我們都知道，平面直角坐標系不僅廣泛應用於三角函數、求拋物線、向量函數還有函數圖象識別與簡單變換之中，所佔分值不低。

幫助大家複習一下

笛卡爾的解析幾何和平面直角坐標系不僅禍害了廣大中學生，還為微積分的創立奠定了基礎，成功禍害了一大批大學生，微積分是現代數學的重要基石。解析幾何直到現在仍是重要的數學方法之一。

笛卡爾的工作成為從常量數學到變量數學的轉折點，後來高考知識點「向量」就是來自力學、解析幾何中的有向線段 。最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓。

在笛卡爾手裡，第一次給出「虛數」的名稱，並和「實數」相對應。因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字，所以笛卡爾對提出這個名稱。我們都知道，隨著對虛數的不斷研究，複數也就應運而生。

歐拉：貢獻了高考數學中的大部分符號

如果要說到天才，歐拉可以說是數學史上最璀璨耀眼的一顆明星之一，也就只有牛頓、高斯寥寥數人可以與其媲美。他 20 歲參與巴黎科學院獎金的爭奪，連續 12 年奪得第一，這個記錄至今無人能破。

1748 年歐拉出版了《無窮分析引論》，這是數學七大名著之一，和高斯的《算術研究》齊名。此書是在數學史上具有劃時代意義的代表作，當時數學家們稱歐拉為"分析學的化身」。

歐拉的《無窮小分析引論》首次把對數作為指數、把三角函數作為數值之比而不是作為一些線段的系統論述，次用函數概念作為中心和主線，把函數而不是曲線作為主要研究對象，使無窮小分析不再依賴幾何性質。

在歐拉的《無窮小分析引論》中，他定義三角函數為無窮級數，並表述了歐拉公式，還有使用接近現代的簡寫sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。對，這些符號都是歐拉發明的。

歐拉使三角學成為一門系統的科學，他首先用比值來給出三角函數的定義，而在他以前是一直以線段的長作為定義的。研究三角函數大都在一個確定半徑的圓內進行的。如古希臘的託勒密定半徑為60;印度人阿耶波多(約476-550)定半徑為3438;德國數學家裡基奧蒙特納斯(1436-1476) 為了精密地計算三角函數值曾定半徑600, 000;後來為制訂更精密的正弦表又定半徑為10'。因此，當時的三角函數實際上是定圓內的一些線段的長。

歐拉的定義使三角學跳出只研究三角表這個圈子。歐拉對整個三角學作了分析性的研究。在這以前，每個公式僅從圖中推出，大部分以敘述表達。歐拉卻從最初幾個公式解析地推導出了全部三角公式，還獲得了許多新的公式。歐拉用a 、b 、c 表示三角形的三條邊，用A、B、C表示第個邊所對的角，從而使敘述大大地簡化。歐拉得到的著名的公式：

歐拉後來又把三角函數與指數函聯結起來。《無窮小分析引論》除了是三角學研究的開端， 還對微積分進行了進一步的完善。

簡單來說，三角函數就是歐拉完善的，指數及指數函數人家也貢獻了一份力。

除此之外，圓周率的符號π、函數符號f(x)、虛數的符號 i 、自然對數的底 e 等等都是他發明的。

歐拉憑一己之力，成功為中國數學教材貢獻了無數的知識點。讓中國學生在中考、高考的數學火海裡苦苦掙扎。

柯西：極限函數來襲

我們知道，牛頓的微積分引來了數學史上的第二次數學危機，差點掀翻了整個數學大廈，牛頓的微積分對導數的定義並不太嚴密，比如說 x2 的導數,先將 x 取一個不為0的增量 Δx ,由 (x + Δx)^2 - x^2 ,得到 2xΔx + (Δx) ^2,後再被 Δx 除,得到 2x + Δx ,最後突然令 Δx = 0 ,求得導數為 2x 。我們知道這個結果是正確的，但是推導過程確實存在著明顯的偷換假設的錯誤：在論證的前一部分假設Δx是不為0的，而在論證的後一部分又被取為0。那麼到底是不是0呢？牛頓後來也未能自圓其說。

另外還存在著「無窮小量看作不為零的有限量而從等式兩端消去，而有時卻又令無窮小量為零而忽略不計」的漏洞，簡單來說就無窮小量在當時實際應用而言,它必須既是0,又不是0.但從形式邏輯而言,這無疑是一個矛盾。就是對於無窮小是不是 0 的一個探討。

柯西在解決這個數學危機的時候發揮了很大的作用，雖然柯西埋沒了伽羅瓦和阿貝爾兩位少年天才，但是柯西可以說對於數學的貢獻是非常大的。

極限函數的確很難，送一個表情包安慰

1821 年，卓越的法國數學家A.L.柯西出版了著作《分析教程》中認識到函數不一定要有解析表達式；他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量，並且定義了導數和積分。成功的用現代極限理論來說明導數的本質。他將導數明確定義如下：

柯西可以說對於極限函數提供了巨大的貢獻，還對導數的發展起過重要的作用。柯西對於牛頓引發的數學危機的解決也起到了巨大的作用。

康託爾、戴德金和魏爾斯特拉斯：對實數體系的完善

（這幾個都算一個來哈～）直到 19 世紀，實數體系都沒有得到完善，對於虛數、負數是否可開根問題、無理數都還沒有得到解決，所以魏爾斯特拉斯等人發起了「分析算術化」運動。魏爾斯特拉斯認為實數是全部分析的本源。要使分析嚴格化，首先就要使實數系本身嚴格化。為此最可靠的辦法是按照嚴密的推理將實數歸結為整數(有理數)。這樣，分析的所有概念便可由整數導出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填補。這就是所謂「分析算術化」綱領。

在魏爾斯特拉斯「分析算術化」運動的引領下，戴德金、康託爾包括魏爾斯特拉斯都提出了自己的實數理論。

1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的「分割」來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，他將一切有理數的集合劃分為兩個非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一個元素小於集合A'中的每一個元素。集合A稱為劃分的下組，集合A'稱為劃分的上組，並將這種劃分記成A|A'。戴德金把這個劃分定義為有理數的一個分割，在這裡面，戴德金從有理數擴展到實數，建立起無理數理論及連續性的純算術的定義。

戴德金分割定理推算過程

康託爾也通過有理數序列理論完成了同一目標，康託爾和戴德金都是將實數定義為有理數的某些類型的「集合」。戴德金方法可以稱為序完備化方法，康託爾方法可以稱為度量完備化方法。這些方法在近現代數學中都已成為典型的構造方法，被後人不斷推廣發展成為數學理論中的有力工具。

康託爾的有理數序列理論

魏爾斯特拉斯發表了有界單調序列理論，有理數基本列是先假定實數的完備性，再根據有理數列的極限來定義有理數無理數。有很多有理數列，他們自己是基本列，但在有理數系內沒有極限，所以有了定義：如果一基本列收斂到有理數時，則稱它為有理基本列；如果一基本列不收斂到任何有理數或者收斂空了時，則稱它為無理基本列。有理基本列定義的是有理數，無理基本列定義的是無理數。

有界單調序列理論求證過程

實數的這三大派理論證明了實數系的完備性。實數的定義及其完備性的確立標誌著由魏爾斯特拉斯倡導的分析算術化運動大致宣告完成。這樣長期以來圍繞著實數概念的邏輯循環得以徹底消除。

完備的實數體系的建立，給數學分析提供了嚴密性，把微積分及其推廣從對兒何概念、運動和直覺了解的完全依賴中解放出來。

它既不依賴幾何的含義,又避免用極限來定義無理數的邏輯錯誤。有了這些定義做基礎,微積分中關於極限的基本定理的推導，才不會有理論上的循環。導數和積分從而可以直接在這些定義上建立起來,免去任何與感性認識聯繫的性質。

幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發展的漫長歲月的過程中已經被證明。因此，必要的嚴格性只有通過數的概念，並且在割斷數的概念與兒何量觀念的聯繫之後才能完全達到。

一句話來說，實數理論體系的建立對於我們現在的所有數學認知體系都產生了巨大的影響，就我們現在所學的任何數學知識都脫離不了這嚴密的實數理論體系。實數理論體系就相當於夯實了整個數學大廈的根基，讓各種數學理論、思想在其中自由發展。

而其中，「現代分析學之父」魏爾斯特拉斯又用了「ε-δ」語言一舉克服了「lim困難」，他將極限定義如下：設函數f（x）在x0的某個「去心領域」內有定義，則任意給定一個ε大於0，存在一個δ大於0，使得當

時，不等式

成立；則稱A是函數f（x）當x趨近於x0時的極限，記成

魏爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在通用的極限的定義，連續的定義，並把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上。極限理論的創立使得微積分從此建立在一個嚴密的分析基礎之上。

而康託爾就發明了集合論，對，就是集合。

這幾個人的工作量也是很大啊，不僅搞定了實數理論，還又貢獻了這麼多知識點。對於中學生和大學生而言，這三個人都是不想聽到的名字。

高斯：滲透了高中數學的方方面面

「數學王子」高斯是數學史一個無法抹去的名字，人家就是專門為數學而生的，高斯自小就顯示出強大的數學天賦，他的父親因為貧窮負債纍纍，高斯三歲的時候，當時高斯的父親是一位工頭，在核算工人們的周薪，高斯看了一眼帳本，就已經能夠幫父親糾正帳目的錯誤。

高斯和藹的笑容

高斯他對數論、代數、統計、分析、微分幾何、大地測量學、地球物理學、力學、靜電學、天文學、矩陣理論和光學皆有貢獻。

以他名字「高斯」命名的成果達110個，屬數學家中之最，比如說高斯分布（正態分布），高斯模糊，高斯積分，高斯整數，高斯消元，高斯曲率，高斯濾波器，高斯引力常數。可以說大物裡有高斯、高數裡也有高斯、幾何裡也有高斯、….你閉上眼睛，在理工科(技術類)書籍裡隨便挑一本書。裡面一定能找到Gaussian這麼個名字…你隨便拆一個app看代碼。，一般一定有不止一個公式（或者包裡的公式）和高斯有關。

你好不容易學一個平面設計，平面設計裡還有高斯模糊。。。可以說，高斯無處不在。

高斯之墓

18歲的高斯發現了質數分布定理和最小二乘法，高斯還總結了複數的應用，他還導出了 導出了三角形全等定理的概念，高斯函數在數學中也得到了廣泛的應用。

可以說，高斯滲透了高中數學的方方面面。

賭鬼數學家卡爾達諾：概率學創始人

卡爾達諾是歷史上和達文西齊名的百科全書式科學家，但是他的所有成就都是圍繞賭錢而展開的。

他一生痴迷星象，算出來自己發財的地方在賭場。。。此後，他便成為賭場的常客，經常沉湎於賭博，而且終其一生都未能戒掉賭癮。

身在賭場的卡爾達諾憑藉自己的數學水平，宛如賭神附體，從來不輸，他的大學生活過得那是相當滋潤，各位數學專業的朋友，看看能不能利用數學算出老虎機的輸贏技巧，說不定你就成百萬富翁了。然而他也在自傳裡表示過懺悔「也許我根本就不值得擁有讚美，我過度沉溺於輪盤賭和擲骰子，應該受到最嚴厲的批評……我不僅每年都賭，而且，我羞愧地承認，是每天都賭。」

卡爾達諾特意把自己利用數學賭博的豐富經驗寫成了書，即《論賭博遊戲》，你看看人家，能夠把賭博的惡習這樣的惡習升華到科學研究的高度（其實也就是為了讓自己不輸所以也用數學把賭博研究的這麼透徹）。該書介紹了冪定理（在一個隨機事件中，某事件重複n次發生的概率）和大數定律（隨著試驗次數的增加，某事件發生的頻率趨於的一個穩定值）等概率學的基本概念和定理，因而成為歷史上第一部論及概率學的著作，不但奠定了現代概率學的理論基礎，還對後來的統計學、市場營銷學、保險業及天氣預報都產生了深遠影響。卡爾達諾也因此成為首位對概率論進行科學研究的學者，被譽為「概率學之父」。

沒有錯，我們高考數學中的概率知識就是從他這裡來的，他是概率學的創始人。

因為賭術驚人，贏了太多錢，怕別人來偷，所以他開始鑽研機械學與力學，所以發明出最早的密碼鎖。此外，他還提出了物體支撐力的「斜面原理」，並設計出多種機械裝置。後來越玩越溜，越玩越嗨，1548年，羅馬帝國皇帝查爾斯五世來到米蘭時，他為皇帝的馬車設計了一個懸掛裝置，這便是著名的「卡爾達諾懸置」。此外，他還設計過一種萬向軸，世人稱之為「卡爾達諾軸」，至今仍在汽車上使用。他還仔細觀測了拋射體的運動，指出這種運動的軌跡類似於拋物線。並由此斷言：除天體外，物體不可能有永恆的運動。直接啪啪打臉那些想做永動機的科學家。

當然了，卡爾達諾也為高考物理貢獻了非常多的考點，他是實驗物理學的先驅者之一，曾嘗試用定量的方法研究物理學。他假設槍彈在空氣和水中通過的距離反比於它們的密度，然後通過實際測量來確定兩者的密度比值。他還在流體動力學中用觀察實驗的方法得出與當時流行觀點相反的結論：流體中高水位比低水位運動的速度快。

因為痴迷星象，卡爾達諾算出自己 75 歲必死，結果到了 75 歲身體特別好，就選擇自殺來表示自己的星象預言沒有錯誤。（卡爾達諾對於二次方程、三次方程和四次方程的研究都有巨大貢獻哦、複數的概念也是來源於他，二項定理和二項係數的確定也是來源於他，感動不感動）

這幾位數學家可以說為高中數學提供了絕大部份的疑難點，很多數學知識、理論、體系都是從他們這裡得到延伸、擴展。雖然他們提供的數學理論讓你很痛苦，但是數學的大發展帶動了文明的大發展，促進了社會經濟和生產力的提高，我們現在的整個網際網路時代，都離不開數學，手機拍照要用到算法、玩手機、玩電腦要用到二進位，數學是文明發展的根基。

所以數學雖然很難，但是我們還是要不斷學習、不斷發展，也希望我們今年的高考學子中，會有下一個數學天才帶動整個數學的大發展、大革命。