在初中數學幾何中,45°角是一個比較特殊的角,以45°角為載體的中考題也是層出不窮,我以一道中考數學填空壓軸題為例,探索了較為常見的四個解題思路,供大家參考學習。
根據現有的已知條件,我們只能能求出反比例函數的解析式,如何利用45°角就成了這道題的解題關鍵。通過大量的題我發現一個規律:45°角的兩邊與x軸形成三角形。
解法一,構造「一線三等角」,利用相似三角形。「一線三等角」是一種常見的建立三角形相似的方法,該模型在這題的應用中看上去有些異常,根本不存在等角,所以我們利用45的角去構造等腰直角三角形,形成「一線三等角」的基本模型,再利用相似三角形的基本性質列出方程。
解法二,利用旋轉,構造「正方形」。「半角模型」也是一種常見的基本圖形,這類問題一般利用旋轉完成,可以得到全等三角形,進而得到線段之間的關係。
解法三,利用「三垂型」模型,構造全等三角形。「三垂型」模型是一個基本圖形.該模型不僅可以找到全等的三角形,也可以用來證明勾股定理.看到45角可以構造等腰直角三角形,進而形成「三垂型」模型。
解法四,構造「三角形的高」,用勾股定理或三角函數。遇到直角問題,有時要回歸到勾股定理,利用勾股定理能夠列出方程;尤其在摺疊問題中,我們經常會利用勾股定理構造方程。本題中依靠∠CAF=45°構造等腰直角三角形,利用三角函數或者勾股定理即可得出答案。
這道中考題是以函數為載體的幾何問題,以上的解法都充分利用了數形結合,把題中的「形」轉化為運算,達到「化形為數」的目的,這是解決問題的關鍵所在,也是基本思路,有了這些基本思路就有了解決問題的方向在解決函數中的幾何問題時,一定要充分利用幾何的基本性質,抓住問題表象中的隱含條件,利用幾何性質的同時結合平面直角坐標系的有關計算,達到幾何與代數的完美結合.上述解法中的勾股定理和三角形的相似與全等,等腰直角三角形的性質的運用,既在意料之外,又在情理之中,順其自然,水到渠成。