螞蟻與橡皮繩悖論

2021-01-17 Academic Life

問題：假設有一根可以無限伸長的橡皮筋，長1000米，有一隻螞蟻在這個橡皮筋的一端向另外一端以1米每小時的速度慢慢爬，當他開始爬的時候，這個橡皮筋就以每小時一百米的速度無限拉長，問螞蟻能否在有限長的時間裡面爬到另一端？



這種問題給人最直觀的感受是螞蟻永遠無法到達橡皮繩的另一端，因為橡皮繩的伸長速度遠大於螞蟻的爬行速度，螞蟻最開始離終點只有一千米，但經過一個小時後，螞蟻和終點的距離要大於一千米，那麼這樣下去，螞蟻似乎只是離繩子的另一端越來越遠。


但事實真是這樣嗎？其實仔細想想會發現，繩子在拉長的瞬間，螞蟻已經爬過的長度和繩子的總長度的比值是不變的，而螞蟻又是不斷向前爬行的，那麼螞蟻爬過的長度與繩子的總長度的比值只會隨著時間的推移而不斷接近1。由此來看的話，似乎只要時間足夠長，螞蟻總能抵達繩子的另一端。


為了解決這個問題，不妨做出一些假設：

1.橡皮繩各個部分是均勻伸長的

2.該過程在無限大一維歐幾裡得空間中進行


下面給出推理過程：







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