高考數學:立體幾何異面直線夾角—除了建系做,看看學霸如何秒殺

2021-01-11 高考數學速解張老師

立體幾何中的高考高頻題型——求異面直線的夾角屬於中檔題,通常的做法是建系求解,這樣易於操作,但耗時稍長。在高考考場上惜時如金,如果能更快的解答這類題,就可以取得更大的心理優勢,減少潛在的失分,多得分。學霸之所以能取得高分,是因為他們平常做題多想少算,一題多解,融會貫通地研究各種題型的解法。考試時會根據題目的具體情境,選擇最優的解法。下面將求異面直線所成角三種方法歸納如下。

一、求異面直線夾角之向量法

①求兩直線的方向向量;②求兩向量夾角的餘弦;③因為直線夾角為銳角,所以②對應的餘弦取絕對值即為直線所成角的餘弦值.

思路分析:先建立空間直角坐標系,設立各點坐標,利用向量數量積求向量夾角,再根據向量夾角與線線角相等或互補關係求結果.

答案 :C

總結:利用法向量求解空間線面角的關鍵在於「四破」:第一,破「建系關」,構建恰當的空間直角坐標系;第二,破「求坐標關」,準確求解相關點的坐標;第三,破「求法向量關」,求出平面的法向量;第四,破「應用公式關」.

二、求異面直線夾角之幾何法

①平移兩直線中的一條或兩條,到一個平面中;②利用邊角關係,找到(或構造)所求角所在的三角形;③求出三邊或三邊比例關係,用餘弦定理求角.

例2:[2018全國卷2,9]

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,為稜CC1的中點,則異面直線AE與CD所成角的正切值為( )

思路分析:利用正方體ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB,將問題轉化為求共面直線AB與AE所成角的正切值,在△ABE中進行計算即可.

解析:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB,

所以異面直線AE與CD所成角為∠EAB,

設正方體邊長為2a,

則由為稜CC1的中點,可得CE=a,

答案:C

總結:幾何法主要是通過平移,將兩條異面直線移到一個三角形中,再進行求解。求解思路是:①找到或做出該角;②將該角放到一個三角形中並求解它的某個三角函數值;③根據該角的取值範圍合理取捨。

三、求異面直線夾角之補形法

補形法是將一個幾何體補成另一個幾何體後,在新的幾何體中研究原幾何體中有關元素的位置關係及其大小。

例3:[2016年全國卷I理11]

平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A.α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m.α∩平面ABB1A1=n.則m,n所成角的正弦值為( )

思路分析:題目中線面關係、幾何體較為單一,所求幾何關係不易觀察。如果將題目中的幾何體進行複製補形,隱性的幾何關係就可通過平行轉化,變得直觀。

解析:在正方體ABCD-A1B1C1D1的下方補兩個相同的正方體,如圖。因為AR∥B1D1,AF∥D1C,可得平面ARF∥平面B1CD1,由題設可知AR,AF分別為m,n。

由圖可知△CB1D1為等邊三角形,故m,n所成角的角為60°,選項A正確.

答案:A

總結:補形法是站在高起點上思考問題,可極大提高考生空間想像能力,具有化抽象為直觀,化隱為顯的強大功能。補形法通常是將一般的幾何體補成特殊的正方體或長方體,將稜錐補成稜柱等.

上面三種方法,是求解異面直線夾角的常用方法,學霸們經常採用的是補形法!如果你有更好的方法,可以發表評論,共同學習!

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