數學新發現:我們用直觀的幾何原理瞬間得出(tanθ)^2的積分

2021-01-08 電子通信和數學

如下是求曲線下面積的極坐標形式，極坐標的出現，是許多計算變得簡單，特別是面積公式既簡介又完整，本篇我們就利用極坐標來分析一個積分公式，你會感受到極坐標的無限魅力

如果我們的極坐標曲線是tanθ，現在要求該曲線下的面積，那麼就是如下形式

我們本篇的重點就是來求上述的定積分，如下三個圖完美地解決了這個問題

首先在單位圓中，陰影部分中直角三角形斜邊就是tanx，它隨著角度X的變化而變化，這個斜邊tanx始終與單位圓相切，即任意點的切線。這個切線掃過整個藍色區域。

你會發現這個tanx藍色區域正好就是極坐標形式下的面積區域，它等於直角三角形的面積1/2*tanX*R減去單位圓中X對應的扇形面積1/2*R^2*X，這樣我們就解決了一個完美的積分問題

這種巧妙的方法，不需要你純代數的推導，這就是幾何的無窮魅力

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