數學註解:(tanx)^2積分的幾何原理

2021-01-12 電子通信和數學

上一篇文章我們用巧妙的幾何方法得出了(tanx)^2的定積分，許多人還是比較難以理解，本篇再詳細的說明一下，

如下是一個單位圓，圓心為A，如果∠BAC=θ，那麼BC就等於tanθ，這是最簡單的三角關係，如果AB在扇形區域BAD內繞圓心A點旋轉，θ角對應的直角邊永遠都是tan∠BAC，所以BDC區域就是tan∠BAC所掃過的區域，這個區域面積就等於直角三角形面積ABC-扇形面積ABD，如下圖

我們將上述tanθ轉換成極坐標形式，即r(θ)=tanθ,如下陰影區域的面積正好等於上述tan∠BAC所掃過的區域，即兩者的面積相等

根據極坐標下的面積公式，它等於1/2*tanθ-1/2*θ

我們瞬間得出了(tanx)^2的定積分

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