若問金庸江湖中哪套劍法最厲害，十有八九都會想到「獨孤九劍」。那位儼如神話的劍魔獨孤求敗，終其一生欲求一敗而不得，大抵是所有劍客們心嚮往之的至高境界。其實在數學江湖中也有一套「獨孤九劍」，那便是被譽為「中國數學聖經」的《九章算術》，而劉徽便是具有掌控這一劍法人的第一人，尤其證明勾股定理給出「青朱出入圖」,將青、朱兩塊移出，拼入，便很簡單地證明了勾股定理。
什麼是勾股定理？簡而言之就是，直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。早在4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。西漢的數學著作《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話：」昔者，周公問於商高。曰：「竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天曆度。夫天不可階而升，得不可的尺寸而度，請問數安從出？「 商高曰：」數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為句廣三股脩四徑隅五。既方外外半之一矩，環而共盤得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。」 以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」。這就是著名的勾股定理。
而勾股定理作為我國古代數學的偉大成就之一，值得我們每位中國人為之感到驕傲，2002年在北京召開的國際數學家大會的會徽，就用了這圖案作為象徵。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。我國古代數學家利用割補、拼接圖形計算面積的思路提供了很多種證明方法. 體現了出入相補原理獨特魅力。
魏晉時期偉大的數學家劉徽用了「出入相補法」即剪貼以形證數 的證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。以後的數學家大多繼承了這一風格並且有發展，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。
如圖所示，在直角三角形的勾上作正方形，染上紅色（朱方）；在股上作正方形，染上青色（青方）；再在弦上作正方形（弦方）。朱方、青方合起來，與弦方比較，有一大部分是重合的，但朱方多出一個小三角形（朱出），青方多出兩個小三角形（青出）。如果能將這多出的三塊，恰好填入弦中不足的部分，那麼二者的面積就相等。將弦中不足的大三角形分為兩個三角形，將「朱出」填入「朱入」，「青出」填入「青入」，那么正好出入相補！故勾方（朱方）與股方（青方）之和等於弦方。「出入相補，各從其類」，這就是劉徽概括並明確表述的原則。稱之為「出入相補原理」。
證明核心思想：「勾自乘為朱方，股自乘為為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不移動也，合成弦方之幕，開方除之，即弦也。」 我國著名數學家吳文俊院士通過深入研究後，把以上這些方法用現代語言總結為如下：
這是我國古代數學的經典成就之一，就是善於在實踐的基礎上，抽象概括出解決問題的一般方法和原理. 是我國古代數學家在解決測量問題的過程中，總結提煉出來的簡單明白的原理.
可以這樣說，出入相補原理中，「出」意味著面積（或體積）減少，「入」意味著面積（或體積）增加；出入相補，即面積（體積）間的和差關係不變.「出入相補原理」也稱割補原理或等積變換原理.
下面舉一例，通過用出入相補原理解決有關線段比例的問題，說明古代數學中出入相補原理的應用.
如圖，設O是矩形ABCD的對角線AC上任意一點，過點O分別作一組鄰邊的平行線PQ、SR，直線PQ分別與邊AD、BC相交於點P、Q，直線RS分別與邊AB、DC交於點R、S，那麼POOS=ROOQ.說理如下：
在圖中，如果把圖形看作由△ACD移置到△ACB處，同時Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ』、Ⅱ』，那麼依據出入相補原理，得：Ⅲ=Ⅲ』（面積相等）.所以POOS=ROOQ.
在《九章算術》第九章勾股章裡，有不少用這9個數中的兩個為求出勾、股、弦的問題，它們都是依據出入相補原理解出來的。特別是，我們在第二節中敘述過的勾股數組公式就是應用這個原理與問題十四而求得的。問題十四事實上是已知勾弦和對股的比率而求第三邊，劉徽應用出入相補原理給出了證明。
在三國時期吳國的數學家趙爽在註解《周髀算經》時也給出了類似的定理，古人將直角三角形兩直角邊和斜邊分別叫做勾、股、弦，於是有了東方數學的「勾股定理」。最早對勾股定理進行證明的，便是這位趙爽。他創製了一幅「勾股圓方圖」，用形數結合得到方法，巧妙地證明了勾股定理。他把三角形塗成紅色，其面積叫「朱實」，中間正方形塗成黃色叫做「中黃實」，也叫「差實」。他寫道︰「按弦圖」，又可勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差相乘為中黃實，加差實，亦稱弦實。
趙爽這一簡潔優美的證明，可以看作是對《周髀算經》中緊接在「勾三股四弦五」 特例之後的一段說明文字的詮釋，《周髀算經》的這段文字說：「既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三、四、五。兩矩共長二十有五，是謂積矩」。
趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關係，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範。
趙爽是中國古代最早對數學定理和公式進行證明與推導的數學家之一，他在《周髀算經》書中補充的「勾股圓方圖及注」和「日高圖及注」是十分重要的數學文獻。在「勾股圓方圖及注」中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式；在「日高圖及注」中，他用圖形面積證明漢代普遍應用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創性的，由於他取得的成就，在中國古代數學發展中佔有重要地位。趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎。
同樣是勾股定理，中國數學家們也沒止步於定理的發現，而是在如何證明上不斷提出更簡潔更明顯的方式。
應該知道是，在《數書九章》裡，有一個三角形三邊求面積的公式：
顯然它與 Heron 公式等價，但形式複雜，而 Heron 公式優美簡潔。當然，前者不會從後者推導出來。應用《九章算術》中問題十四的公式，依據出入相補原理，筆者按照中國傳統數不的思路，自然地重新證明了秦九韶的這個公式。
我們強調，中國傳統的求（平方和立方）根及解方程的方法實質上都依據了出入相補原理這個幾何特性的原理。我們還強調，《海島算經》中極難理解的公式，乃是應用出入相補原理自然而然得到的結果。若應用歐幾裡得的方法，則似乎很難推出這些公式，或者至少是非常迂迴曲折和極不自然的。
我們來看清朝初年的數學家梅文鼎的證法，如圖所示，將以邊長為c的正方形切割成三個部分：三角形GAH、三角形ABC和不規則的圖形（白色部分），然後分別將兩個直角三角形移動到EBD和GEF位置，我們發現原先正方形的面積c，恰好成為邊長為a的正方形BCPD和邊長為b的正方形GHPF，我們便又可以得到定理的證明。
比如下面著名畫家達文西的證明方法是用兩張一樣的紙片拼出不一樣的空洞，而兩個空洞的面積是相等的，利用求兩個空洞面積的表達式相等證明出勾股定理，有著中國傳統面積法證題的韻味，是巧合還是借鑑？（近年來有研究表明：義大利文藝復興復興很多作品和發明與古代中國發明有內在聯繫）.
連接BE、CF交於點G，有四邊形ABGF、四邊形GCDE均為正方形，
連接B'F'、C'E'，有四邊形B'C'E'F'為正方形，
設正方形ABGF的邊長=A'B'=D'E'=a，
正方形GCDE的邊長=A'F'=C'D'=b，
BC=EF=正方形B'C'E'F'的邊長=c，
則多邊形ABCDEF的面積=正方形ABGF的面積+正方形GCDE的面積+2×△BCG的面積
=a+b+2(ab÷2)=a+b+ab，多邊形A'B'C'D'E'F'的面積=2×△A'B'F'的面積+正方形B'C'E'F'的面積=2(ab÷2)+c=ab+c，又因為兩個空洞面積相等，即a+b+ab=ab+c，所以化簡可得a+b=c，由此證得勾股定理。
晚清數學家華蘅芳在年少時代給出了22種證明，（這裡列舉3種）
中國古代數學家們對於勾股定 理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和 地位。尤其是其中體現出來的「形數統一」的思想方法，更具有科學創新 的重大意義。事實上，「形數統一」的思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件。正如當代中國數學家吳文俊所說：「在中國的傳統數學中，數量關係與空間形式往往是形影不離地並 肩發展著的......，十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與 方法在幾百年停頓後的重現與繼續。」
在我國古代幾何中，出入相補原理得到的結論是解決測量問題的基本依據.出入相補原理除了用於解決線段比例問題外，還在勾股定理、體積理論、球體體積乃至數的開方等方面，有非常經典的運用.
出入相補原理起源於《算數書》、《九章算術》編纂的時代，是我國勞動人民智慧的結晶.不過，現傳最早的記載在趙爽《周髀算經注》的勾股圓方圖說與劉徽《九章算術注》的方田、少廣、商宮、勾股等章中，通過把這一原理應用於解決多種多樣的問題，我國古代建立了相應的幾何體系，形成了幾何學的一個特色.
可以說中國數學對世界的影響主要體現：數學活動有兩項基本工作----證明與計算，前者是由於接受了公理化（演繹化）數學文化傳統，後者是由於接受了機械化（算法化）數學文化傳統。在世界數學文化傳統中，以歐幾裡得《幾何原本》為代表的希臘數學，無疑是西方演繹數學傳統的基礎，而以《九章算術》為代表的中國數學無疑是東方算法化數學傳統的基礎，它們東西輝映，共同促進了世界數學文化的發展。