知識·規律·方法
①勾股定理的應用
用於直角三角形中，斜邊的平方等於兩條直角邊的平方和。
② 包勾股定理的逆定理：有一條邊的平方等於其他兩邊的平方和的三角形是直角三角形。
勾股定理最早的文字記載見於歐幾裡得(公元前三世紀)的《幾何原本》第一卷命題47，「直角三角形斜邊上的正方形面積等於兩直角邊上正方形面積之和」。
勾股定理是數學史上一顆璀璨的明珠，在西方又稱畢達哥拉斯定理.它是歐幾裡得幾何的重要定理之一，有的數學家形象地稱勾股定理為歐氏幾何的「拱心石」.數學大師陳省身先生說：「歐幾裡得幾何的主要結論有兩個，一個是畢達哥拉斯定理，一個是三角形內角之和等於180℃.」華羅庚教授曾建議把它送入其他星球，作為地球人與外星人交談的語言，以探索宇宙的奧妙。到目前為止，勾股定理已有300多種證法。
勾股定理揭示了直角三角形的三邊之間的關係，對於線段的計算，常可由勾股定理列方程進行求解；對於涉及平方關係的等式證明，可根據勾股定理進行論證；對於已知三角形的三邊的長，要判斷其形狀，則可根據勾股定理的逆定理通過計算進行判定，如果在問題的條件中發現與勾股定理極為類似的形式，就應設法將所涉及的線段集中於一個直角三角形中，或者設法構建出這個直角三角形，再進行證明.
我國漢代數學家趙爽著《勾股圓方圖》，全文530餘字，在我國第一次明確給出了勾股定理的理論證明，「案弦圖又可以勾股相乘為朱實二，倍之，為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實亦成弦實」.
證明勾股定理的「弦圖」，其中「弦實」是弦平方的面積，「弦圖」以弦為邊作正方形（如正方形ABCD），然後在「弦圖」內部作四個直角三角形（如△AHB，△BEC，△CDF，△DAG）.設a，b，c為四個直角三角形的勾、股、弦，則根據「出入相補原理」就有
這是中國古代數學家獨立於西方畢達哥拉斯和歐幾裡得發明的證法.後人沿用「出入相補原理」，也就是割補原理解決了許多數學問題，也創造了「勾股定理」的許多新證法，事實上每位初中同學，學了勾股定理，只要用心思考，一定會用割補法想出更新的證明勾股定理的方法。下面的幾種證法，希望細細體會。
下面我們看例題分析
範例解析
例題1：（1997年蘇州中考試題）
△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC邊上的一點，是證明：BD^2+DC^2=2AD^2.
重點難點：本題主要考察的是構造一個新的直角三角形做BC邊上的高，恰好△ABE，△ACE都是等腰直角三角形，把幾何問題轉換成了方程問題。
例題2：(2003年，天津市數學中考試題)
如圖所示，已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC於E，作EF⊥AC於F，作FG⊥AB於G，求證：AB^2=2FG^2
重點難點：
注意到正方形的特徵∠CAB=45°，左右△AGF是等腰直角三角形，從而AB^2=2FG^2
，只需證明AF=AB即可，這啟發我們要去證明△ABE≌△AFE。
在審題中，條件「AE評分∠BAC」以及「作EF⊥AC於F」贏使我們意識到兩個直角△明△ABE與△AFE全等，從而將AB過渡到AF，使得AF（即AB）與FG處於同一個直角三角形之中，就可以過渡到勾股定理之中了。
例題3：(2007年，邯鄲市數學中考試題)
如圖所示，AM是△ABC的BC邊上的中線，試證：AB^2+AC^2=2（AM^2+BM^2）.
重點難點：三角形的中線將三角形分成兩個三角形，其中一個是銳角三角，另一個是鈍角三角形（除等腰三角形以外）利用勾股定理，恰好可以消去相反項。