丟番圖---代數學之父

      前面講了幾次幾何，今天我們聊下代數，要介紹的是丟番圖，在世時期約為公元208年---公元292年，也是古希臘數學家，被稱為代數學之父！彼時的中國，同時期差不多為三國時代，群雄混戰。

  

我在沉思！

     詳細介紹之前，我們先看下下面一個有趣的問題，丟番圖的墓志銘，我們的主人公也因此聞名於世！

   

墓志銘

墳中安葬著丟番圖，　　

多麼令人驚訝，　　

它忠實地記錄了所經歷的道路．　

　

上帝給予的童年佔六分之一，　　

又過十二分之一，

兩頰長胡，　　

再過七分之一，

點燃起結婚的蠟燭．　　

五年之後天賜貴子，　　

可憐遲到的寧馨兒，

享年僅及其父之半，

便進入冰冷的墓．　　

悲傷只有用數論的研究去彌補，　　

又過四年，

他也走完了人生的旅途．

過路人，你知道丟番圖的年紀嗎？

只要用到一點點代數的知識就可以解出來了！我們假設丟番圖的年紀為x,可以得到方程：

生平介紹

 事實上，我們對於丟番圖的生平事跡，知道得很少。根據一些史料記載推算，丟番圖主要活動在亞歷山大城，並在這裡教書。所幸的是，我們在一本《希臘詩文選》中了解到些。裡面收錄了丟番圖奇特的墓志銘，也就是我們開頭所說的內容。【《希臘詩文選》這是公元500年前後的遺物，大部份為語法學家梅特羅多勒斯所輯，其中有46首和代數問題有關的短詩】。

《算術》

目前所知的丟番圖的著作有兩本，一是《算術》，大部分保存了下來；另一種是《多角數》，只有少部分留下來．這裡要特別提的是《算術》這本書，可以說這是一部劃時代的著作，它在歷史上影響之大可以和歐幾裡得《幾何原本》一比高下．《算術》的序中說，全書共分13卷．可是現在見到的希臘文本只有6卷．1973年，G．圖默(Toomer)在馬什哈德聖地(Mashhad Shrine)圖書館研究一本阿拉伯文手抄本，確認是《算術》的另外4卷阿拉伯文本．丟番圖的《算術》是講數論的，它討論了一次、二次以及個別的三次方程，還有大量的不定方程。對於具有整數係數的不定方程，如果只考慮其整數解，這類方程就叫做丟番圖方程，它是數論的一個分支。不過丟番圖並不要求解答是整數，而只要求是正有理數。《算術》一書也可以歸入代數學的範圍。代數學區別於其它學科的最大特點是引入了未知數，並對未知數加以運算。就引入未知數，創設未知數的符號，以及建立方程的思想﹝雖然未有現代方程的形式﹞這幾方面來看，丟番圖的《算術》完全可以算得上是代數。

單這樣看，或許未覺得《算術》的偉大。須注意到的是,希臘數學自畢達哥拉斯學派後，興趣中心在幾何，他們認為只有經過幾何論證的命題才是可靠的。為了邏輯的嚴密性，代數也披上了幾何的外衣。一切代數問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都納入了幾何的模式之中。比如：(a＋b)²=a²+2ab＋b²關係在歐幾裡得《幾何原本》中是一條重要的幾何定理(卷Ⅱ命題4)。而在丟番圖《算術》中只是簡單代數運算法則的必然結果．

完全平方式的圖形證明

直到丟番圖，才把代數解放出來，擺脫了幾何的羈絆。丟番圖創設了一些符號，多半採自相應文字的字頭，而問題的敘述主要仍然是用文字，可算是較原始的簡字代數．要指出的是符號的使用，在數學史上是一件大事．一套優良的符號，絕不僅僅是起到加快速度、節省時間的作用，它能夠準確、深刻地表達某種概念、方法和邏輯關係．符號的發明在數學史上是一次飛躍，也是代數的特徵之一，其作用是不容低估的．

你太偉大了！

另外，丟番圖使用的方法之多，讓人目不暇給，但未能擊節嘆賞。他是個巧妙的解題高手，但顯然不夠深刻，未能看出他所用方法的實質加以概括。歐拉曾認為丟番圖用特例來說明一般方法，因為那時未能用字母表示數！不過總的來說，他的工作在代數是永垂不朽的。（關於這點想想我們雖然在小學5、6年級學會了解簡單的方程，可是我們是到了初中才學會用字母表示數）

丟番圖方程

行文至此，我們本可以結束，但是還有一些有趣的是，我們還想再聊下！

偉大的書，偉大的問題總在於它能不斷激發人的思考，能不斷有新的活力!下面我們看倆個丟番圖方程的例子。

1637年左右，費爾馬(Fermat，1601—1665)讀到《算術》的拉丁文譯本時，思考之下，提到了一個猜想，後稱為「費馬大定理」：

當整數n >2時，關於x, y, z的方程 

x^n + y^n = z^n 沒有正整數解

可是費爾馬在書本空白處俏皮的寫下了一句話：「我確信已發現了一種美妙的證法 ，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。」這個問題以及這句話激勵引領著數學300多年的發展。這是一個很有趣的事，以後有機會我們再細聊！

 我費爾瑪就是這麼拽啊！

另一個，有個有趣的丟番圖方程問題：你怎麼把1到100之間的每一個數字表示為三個整數的立方的總和？簡單表述如下：

     

    x^3+y^3+z^3=k，其中k等於1~100的任何整數，求整數x,y,z?20世紀50年代重溫這一難題的現代數學家很快找到了答案，當時k等於許多較小的數，但很快就出現了一些特別頑固的整數。最棘手的兩個數字，分別是33和42。2019年4月，英國布里斯托大學數學家安德魯·布克（Andrew Booker）解決了33難題。布克用一種計算機算法尋找x、y和z值在正負99萬億之間的丟番圖方程的解，經過數周的計算後，找到了33的解。如你所見，答案是超長的。

儘管如此，這一詳盡的搜索仍然沒有找到42的解。這表明如果解存在，一些整數必須大於99萬億。計算這麼大的數值需要極大的計算能力，因此在他的下一次嘗試中，布克請求麻省理工學院數學家安德魯·薩瑟蘭（Andrew Sutherland）的幫助，最後在一個名為慈善引擎（Charity Engine）的全球計算機網絡上預定了一段時間。根據布里斯托大學的一份聲明，這個網絡是一個「世界性的計算機」，它借用了全球50多萬臺家用電腦的閒置計算能力。利用這臺眾包的超級計算機和100萬小時的處理時間，布克和薩瑟蘭最終找到了k = 42的丟番圖方程的答案：

 

無獨有偶，在道格拉斯·亞當斯的科幻系列小說《銀河系漫遊指南》中，程式設計師向這臺銀河系最大的超級計算機提出了一個終極問題：生命、宇宙和一切的意義。經過750萬年的處理，計算機得出了一個答案：42。

當然，看到這裡，或許你還是會問，這種問題有什麼意義呢？

就像，我也一直不明白，球場上為什麼有那麼多人，為一個球搶來搶去一樣！（開個玩笑啊）

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