【走進數學】丟番圖方程

2021-02-23 菁英初中

公元前3世紀的時候，亞歷山大的丟番圖發表了《算術》，意思是「關於數的科學」。這本古代的著作成為數論（對整數的研究）的主要裡程碑。

《算術》一書包含了130個方程，這些人們稱之為「丟番圖方程」。丟番圖方程的變量僅允許是整數。用現代術語來說，丟番圖方程是一組（widerset of）多項式或代數方程組。（多項式是由2個或多個代數項組成的表達式，包含至少一個未知變量，通常用x表示。）丟番圖被稱為「代數之父」，雖然代數這個詞，其基於字母的記數法，以及與其相關的眾多概念都是若干世紀之後才出現的。

丟番圖方程一般會問如下這樣的問題：「父親的年齡是兒子年齡的2倍減去1歲父親的年齡如果可以用字母AB來表示，則和兒子的正好相反。父親和兒子分別有多大？」唯一可能的答案是父親73歲而兒子37歲。在許多這樣的問題裡，答案是通過不斷嘗試和犯錯求出的，但是作者往往在得出答案之後，事後諸葛亮般給出數學證明。

丟番圖總是小心翼翼，他給出的問題他認為都是有解的，而且都是唯一解。他總是尋找整數解，而對負數解則不予考慮。結果，丟番圖方程有時會被當成謎題一樣解開，但是也有很多個世紀也沒有解開。皮埃爾·德·費馬是著名的「費馬大定理」的提出者，當他於1637年研究這些謎題的時候，他發現有一個丟番圖方程是沒有解的。他在他的《算術》抄本第85頁空白處做筆記說：「若整數n>2，則方程xn+yn=zn」沒有整數解。（註：其實沒有解，但是三個變量中必然有一個為0，即xyz=0）」費馬沒有給出證明方法，直到1994年才被證明。

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    張壽武 資料圖數學家張壽武去普林斯頓大學上班的時候，辦公室通常會開著門。任何學生都可步入交流。他相信，數學是一門與人的關係尤為密切的學問。不過，張壽武只上一半時間的班，像這樣跟所有人打交道。走進數學殿堂如果說是陳景潤這個名字把張壽武帶進數論的大門，那令他敲開代數幾何這個房間的，則是法爾廷斯。張壽武在1983年聽到了這個名字。那一年，他考上了中科院數學所的研究生。剛從國外回來的王元院士作了一個報告，介紹德國青年數學家法爾廷斯對莫德爾猜想的證明。
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  • 一元一次方程教學設計
    2．內容解析 方程是初中數學的核心內容，是算術法到代數法思維轉變的重要標誌，是解決實際問題的一種重要的數學模型。方程的出現是實踐的需要，它使得實際問題中的已知數與未知數通過等式連接起來。找出實際問題中的相等關係，並用代數式表示其中的數量關係，進而列出方程，是解決實際問題的一種方法。
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