10月28日下午消息，今日2017未來科學大獎頒獎典禮暨未來論壇年會在京舉辦。中國科學院數學與系統科學研究院研究員孫斌勇發表了演講。
以下為演講全文：
朋友們，大家下午好，首先感謝論壇的主持者邀請我來做這個報告，我今天演講的題目是朗蘭茲綱領，一項偉大的數學工程。現在基礎數學研究中有三個大家非常關注的方向，數論，幾何和表示論。朗蘭茲綱領說這三個方向有非常密切的三個內在聯繫，所以我們稱朗蘭茲綱領為數學的一個大統一理論。下面分別介紹一下數論，幾何，表示論和朗蘭茲綱領。
我們先介紹數論，我們認識數學從數數開始的，12345等等這些都是整數，數論是一個研究整數的學問，這是最古老的數學分子。在數論裡面有兩類最主要的問題，一類叫做數字分布，素數分布，一類是丟番圖方程。
我們知道素數有2357這些都是屬於素數，有一個特點，除了1和它自己以外，不能被其他的正整數整除這樣是素數，首先素數到底有多少個呢？這個問題在兩千多年前古希臘的數學家歐幾裡得，在他寫的幾何原本那本書裡面證明了素數有無窮多個，我們中國人最熟悉的關於素數分割的問題是哥德巴赫猜想和孿生素數猜想，這是因為中國人陳景潤和張益唐在這兩個問題的研究裡面取得了非常巨大的突破，最後還是沒有解決，哥德巴赫猜想說每個大於2的偶數都是兩個素數的和。數學家把這個命題稱之為一加一，經常有人問一加一等於2這麼簡單的事情，為什麼數學家還要去研究，其實這是一個誤會，我們說一加一不是說一加一等於2，而是指哥德巴赫猜想的命題，代表了一個命題，孿生素數猜想說存在無窮多對差是2的素數。其實素數分布裡面最基本的問題不是之前說到的兩個，而是素數定理和黎曼假設。這裡數學大師，歐拉，高斯和黎曼，在這兩個問題中做了非常基礎性的重要工作，比如說歐拉和黎曼引進了著名的（裡滿給他 音）集數，是一個集數合，到大於1的時候是收斂的，小於1的時候，因為這個集數不收斂，它的值有理論裡面的研習的辦法來確定，高斯猜出了素數定理的準確表達形式，後來法國科學家哈得曼等人利用研究（裡美含他 音）函數確定了素數定理，說的是什麼事情呢，到充分大的時候，小於1N的素數大概有多少個，這是素數定理的大致的估計，但是黎曼猜想是對這個問題更精神的估計，大家知道黎曼猜想現在還沒有解決。而且現在數學家也沒有辦法，也沒有任何想法解決這個問題。
丟番圖也是古希臘的科學家，丟番圖方程也是多項式方程，最早寫了一本書專門研究這一類問題。最著名的例子是費爾瑪的最後定理，這裡面的幾個式子是沒有正整數解的，這個定理已經被歐洲的數學家證明了。另外一個證明的定理是BSD猜想，這是三次方程，是研究三次方程的有理數解，這個三次方程定義的幾何圖形叫做橢圓現象，這個BSD猜想和黎曼猜想一樣，提出了七個千禧年數學問題之一，也是沒有解決，是研究這個方程的整數解或者是有理數解。
下面介紹幾何學。幾何學是研究各種各樣的形狀的一門學問，比如說我們非常熟悉的高中裡面學到的圓錐曲線，橢圓曲線，剛剛提到的三次方程定義下的一個曲線，還有回面，幾何學裡面包括了很多各種各樣的分支，比如說微分幾何學，代數幾何學等等。很多的數學大師在幾何學裡面做出了非常重要的工作。比如說歐幾裡得，前面在數論裡面提到了歐幾裡得開創了平面幾何學，為平面幾何學建立了完整的一個理論體系。還有黎曼也是前面提到了，他開創了黎曼幾何學，黎曼幾何後來啟發了愛因斯坦創立了廣義相對論。這個龐加萊在拓撲學方面做了非常重要的基礎性工作。我們知道他有一個重要的非常著名的龐加萊猜想，也是七個千禧年問題之一，這是唯一被解決的一個。這裡提到了這個人，它對現代數學的影響非常大，帶來了幾何學革命。這其中和朗蘭茲綱領最密切關係的是代數幾何學。代數幾何學也就是多項式方程，描述的圖形，比如說前面提到了圓錐曲線，橢圓曲線，環面其實都是代數幾何學的研究內容。
第三個部分我們介紹一下表示論，這裡說的表示論，我指的是群的表示論，比如說群是研究事物的對稱性，我們看到這幅圖，第一幅圖是左右對稱的，第二幅圖是水準對稱的，在數學上這些對稱性是用群作用來刻畫的。群的概念在數學、物理或者是其他的科學裡面都是非常基本的概念，所以我想詳細解釋一下這個概念，什麼叫做一個群。群根據定義，是有兩樣東西組成的，首先是一個集合。第二，這個集合上有一個運算，然後什麼叫做運算呢？就是說這個集合裡面給你兩個元素，你可以得到第三個元素，這是一個法則，這個叫做運算，比如說是整數集合，這個運算是加法運算，這樣的話從一個三，一個四可以得到七，三加四等於七，現在有兩樣東西，一個是集合，一個運算，必須滿足三樣東西才是一個群，這三個條件分別稱之為第一個叫做結合率，做運算必須有結合率，第二個是群裡面必須有一個單位元，第三個是這個群裡面每個元素都要有一個逆元素，這樣的話組成一個群，比方說我剛剛講的整數的幾何，加法之下這兩個東西的確組成了一個集群。但是如果我們還是取那個證書的幾何，運算呢，我們把加法改成乘法，這個不再是一個群了，我們知道乘法有結合律，還是有單位元素1，這個零元素沒有逆元素，也就是說你不可能找到一個整數，它和0乘起來不可能等於1，所以這個整數集合在乘法裡面不是一個群，我們這裡關心的是一個群，群的概念起源於法國數學家加羅華對多項式方程根式解的研究，他證明了一些多項式方程的解不可能用根式表達出來。其實我們更關心的是李群，所謂李群，其實它是具有連續性的群，除了群結構還有其他的結構，幾何的結構。這個李群起源於挪威數學家李對微分方程的研究。我這裡寫了兩個群的例子，一個群和一個李群的例子。這個李群表示論是對稱、線性代數加連續性的組合，本身它就起源於量子力學的研究論。現在大家更關注的是無窮表示論，這裡面著名的數學家，這兩個人是在李群的有限表示理論中做出了非常基礎性的工作。後面兩個著名的數學家建立了李群無窮表示論的技術。
這個李群表示論，和數學中的另一個分支調和分析非常相關，調和分析的主要任務把一個複雜的函數分解成簡單函數的和，對應的，在李群表示論裡面，要把一個表示分解成不可表示的和。我們知道在調和分析裡面有兩個重要的例子，一個是工程裡面我們知道非常有用的東西傅立葉級數，還有一個是自守表示，這兩個本質上都是李群表示論的例子。
最後，我們介紹一下朗蘭茲綱領，前面提到了朗蘭茲綱領是一個被稱為數學大統一理論，解釋了數論，代數幾何和李群表示論之間有深入的聯繫，這裡被稱之為L函數對象的聯繫建立起來的，我這裡列出來了幾個L函數的例子，就是（李美賊大 音）函數的推廣，就是第一個我寫的函數，這是一個很大的理論。
朗蘭茲這個人出生於加拿大，在1967年，他給數學家寫了一封信，他提出了現在非常著名的朗蘭茲復發猜想，這個猜想建立了數論和表示論之間的聯繫。這封信下來被認為是朗蘭茲綱領的起源。朗蘭茲綱領的核心研究對象是前面提到的函數，比方說之前提到過的黎曼假設，費爾瑪訂立合BSD猜想，最終都是函數的問題，朗蘭茲綱領的一個問題是朗蘭茲函子性猜想，是朗蘭茲猜測的猜想。還有一個是朗蘭茲綱領的對應，這純粹是理論表現的問題。這裡我寫了兩個對應。
前面提到了這兩個問題中，我們現在數學家已經取得了很多的重要的進展。當然也有更多的問題沒有被解決。這裡我寫了一些進展，這兩個問題的研究中現在已經產生了好幾位得主，都是研究這兩個問題的。
朗蘭茲綱領還有很多的各種各樣的推廣，比如說幾何朗蘭茲綱領可能和物理關係更密切一點，還有P進的朗蘭茲綱領和數論的關係更加密切一點這裡還有很多的問題等等大家去探索。
謝謝大家。
（責任編輯： HN666）