張壽武:方程無解,求之不得

對我們數學家來說，就是要解沒解的方程，這樣的話我們才能夠延續自己的研究，才能夠有自己的生命。

（圖源：wikipedia）

撰文 | 張壽武

整理&編輯 | 李爽 陳曉雪 金莊維

早上好。很高興能夠參加未來科學大獎。我接到組委會的邀請，要我給一個30分鐘的報告，對我來說這是一個不太容易的事情。我給過很多public lecture，也就是公眾報告，所有的報告都是給數學系的大學生、研究生，或者是對數學有興趣的中學生。這是是第一次給公眾的報導。所以讓我講點未來的科學，這個題目對我來講有點沉重，我們來點輕鬆一點的東西。

昨天碰到很多中學生來聽報告，很多家長問我的小孩將來學什麼？我問他小孩想幹什麼？在今天這個年代，念大學有兩個主題是最重要的，一個是計算機，一個是金融，都可以給你帶來豐厚的工資。在我們那年代也一樣，叫做「好數理化，走遍天下都不怕」。數理化最有用的大概是化學，像家裡面所有的東西都是化學製品的多。信不信由你，當年我也考到中山大學化學系，進入化學系之後，我才發現化學不好學；學完化學之後也學學物理，平時看些物理書，物理也不好學；學物理之後要把數學學好，最後轉到數學系去了。數學家分兩類，一類叫應用數學家，他們能解決問題，還有一類叫做純粹數學家，他們解決不了問題。我發現我也沒辦法跟應用數學家競爭，他們的解題水平太高了，所以我就變成一個純粹數學家。純粹數學家，剩下的問題就是不能解決問題，所以我今天的報告基本上沒有什麼用。所以如果你也到這來聽的話，你會發現這些純粹數學家確實是一些莫名其妙的人。

萬物皆數

我這個報告第一部分叫萬物皆數。萬物皆數，這個道理是古希臘的大哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras）提出來的。畢達哥拉斯通過研究月曆和星座，發現自然界都跟數字有關係。所以大家想要研究好自然科學，研究哲學，先要把數字研究清楚。他辦了一個學校，這個學校是秘密學校，學生在裡面主要學習哲學、音樂、天文和數學。

畢達哥拉斯認為，世界的所有跟數有關係，比如說1代表推理（reasoning），2代表意見（opinion），3代表和諧（hormony），4代表公正（justice），5代表婚姻和愛情。他給所有東西都分一個數，奇數代表陽，偶數代表陰，這就是他的所有的觀點。在畢達哥拉斯的理論裡，大量的數是有理數——所有的整數，整數之後再分成分數。有了整數、分數之後，我們就可以解所謂的線性方程，比如3X=5，那麼X=5/3。這就是畢達哥拉斯當年的東西。在畢達哥拉斯的學校，有人很快就發現了光是有理數不夠。他的學生在計算一個單位為1的正方形的對角線的時候，就出了問題，發現對角線不是個有理數。這個問題就非常嚴重了，因為畢達哥拉斯認為所有的數都是有理數。其實畢達哥拉斯心裏面差不多也有點眉目，認為根號2大概不是個有理數，所以他學生發現了，發現之後還告訴別人，對於畢達哥拉斯來說，這是不得了的大事情，後來他就把這個學生給沉到海裡去了。所以發現無理數這個事情是付出生命的代價。

有了無理數和根號2之後，我們就知道二次方程也可以求解，這是我們在中學學的。這是一個很了不起的事，如果沒有根號，我們求解（二次方程）還是一個很困難的事情。

後來又到了三次方程，就是方程再多一個位數。三次方程求解有很長的歷史。在1500年以前，中國一個叫王孝通的人已經知道數值解，那是數值解當中做得比較早的人。但是對精確解，中國人沒有研究過。

關於三次方程，數學界也有一個很長的故事。這個故事發生在幾百年以前，義大利首先有一個數學家叫法羅（Scipione del Ferro），他發現了解三次方程的方法。但是當時還沒有複數的概念，所以寫出來比較費勁，把正的一邊寫在一邊，把負的那邊挪到那一邊，正的等於正的。他一想就很困難，那個年代減東西都不能減，就沒法配方，所以他發現了一類三次方程的解。他結果寫在小本上面，死了之後就交給他的女婿。他女婿也是個數學家，繼承了他在大學的位置，把小本給保存起來。法羅有一個學生叫菲奧利（Antonio Fiore），這個哥們到處吹噓，說自己知道怎麼解決三次方程。後來他碰到另外一個數學家，叫做塔塔裡亞（Tartaglia）。塔塔裡亞也知道怎麼解三次方程，但他們兩個解三次方程的方式不一樣，後來他們決定要打一次賭，你出30道題，我出30道題。塔塔裡亞在比賽的前一天晚上，算了一天，就把解三次方程的秘密弄出來了。而塔塔裡亞給菲奧利的方程，菲奧利忙活了一天也做不出來，結果塔塔裡亞就贏了。那時候不像現在——你如果知道怎麼解方程，你把這個證明寫了。他不寫出來，放在兜裡，作為秘密保持下來。

另外有一個義大利數學家卡爾達諾（Girolamo Cardano），當時在寫一本書。他知道塔塔裡亞知道怎麼解決方程時，就很激動，跟他說：你能不能把這個秘密告訴我。塔塔裡亞說：這不能告訴你，我這東西還是個秘密。卡爾達諾說：你告訴我，我發誓，堅決不會告訴別人，等到多少年之後再來發表。後來，卡爾達諾從別的途徑知道，很早以前菲奧利就知道這個證明了，所以他就把那個證明寫在書裡。塔塔裡亞很生氣：你跟我發誓說不把這個秘密寫出來，現在怎麼給寫出來了？後來塔塔裡亞就要跟卡爾達諾打賭，又要去比賽。卡爾達諾派了一個叫法拉利（Lodovico Ferrari）的學生，跟塔塔裡亞比賽。法拉利更高明，他不只是知道複數，還可以用根號負的數在裡面做運算，所以他做的東西更精確，結果就贏了。而塔塔裡亞不只把所有的錢都輸光了，職務也丟了。所以，那時候做數學是很不容易的，前面丟了命，後面這工作都沒了。

到今天，我們有了正數、負數，這個解其實不複雜，稍微懂一點中學數學，方程就能求解了。但在那個年代不容易。

不可解方程

現在我講不可解方程。關於四次方程按照前面方法也能求解，但五次方程的話，這些科學家就不知道怎麼辦了。這個問題一直到1802年，由阿貝爾（Niels Henrik Abel）解決。

阿貝爾是個傳奇式人物。舉一個最簡單的例子，大家知道科學裡面有諾貝爾獎，數學裡有菲爾茲獎，大家通常把菲爾茲獎跟諾貝爾獎做一個比較，這是錯的。在1899年的時候，大數學家索菲斯·李（Sophus Lie）就提出來要用阿貝爾的名字做一個獎，來代替諾貝爾獎。由於瑞典和挪威當時分裂了，這個事一直就耽擱了，耽擱了差不多100年。阿貝爾獎第一次頒獎是2003年。

阿貝爾是一個才氣極高的數學家，但一輩子是在饑寒交迫中過來的，他只活了26歲，是一個非常不容易的人。他早年做數學，發表很多文章，但是不知道什麼原因，找很多工作都被拒絕了。他第一次證明五次方程不可解的時候，用了6頁紙寫下來。他把講稿寄給高斯，高斯也沒看。他在這個在雜誌上發表了，但很多人不認可。當時發表文章跟現在還不一樣。當時發文章你要交錢，現在發表文章，你把文章往雜誌一投，給審一下稿，就發了。在當時，你如果發表文章100頁，你要交100頁的錢，5頁就5頁的錢。他的文章只有6頁紙，因為他沒錢，所以這文章寫得就不清楚。你不要笑話，前蘇聯也是這個樣子，前蘇聯很多數學家寫的文章很短，所以我們現在認為蘇聯數學家寫得很精煉，法國數學家很囉嗦。其實不是，因為蘇聯數學家沒錢，他只能寫得那麼短。阿貝爾為了證明五次方程不可解，引入了一個我們今天認為很重要的概念，叫群論，所以阿貝爾被認為是群論的創始人之一。

阿貝爾幾次到哥廷根、到巴黎去跟大數學家切磋，多以失敗告終，因為他寫東西都寫得不清楚，太精練了，到了巴黎也沒有什麼收穫。阿貝爾所有的榮譽都是在死後得到的。最悲慘的是，他死之後兩個星期，他在哥廷根的位置才批下來，寄到家裡面，但他已經過世了。這是一個很悲慘的例子。

提到五次方程不可解，還得提到另外一個數學家，叫做伽羅瓦（Évariste Galois）。伽羅瓦是一個法國數學家，你看看他的歲數，大概就活了20歲。這位數學家小時候就有很高的數學天賦，他當時想考法國的高等工科學院，相當於今天的清華大學。高等工科學院當時是法國數學最好的大學，相當於清華大學在上世紀20年代，解放前的清華大學數學系應該是中國最好的。但他考了兩次沒考上，只考了法國高等師範學校，相當於中國現在的北京大學。今天北京大學數學當然很厲害，今天法國高師很厲害，但是如果說是解放初期的北京大學，數學確實不怎麼樣。伽羅瓦在法國高師的時候就展現出很強烈、很高的數學天賦，但是他常常捲入政治鬥爭。他屬於共和派，為了共和派上街遊行，然後坐牢。他在牢房裡面碰到一個姑娘，他喜歡那個姑娘，出來之後就為了那個姑娘決鬥。他知道對手比他強太多了，也知道他必死無疑，所以他在臨死前5天把所有東西寫下來，然後寄給大數學家柯西和高斯。這兩個數學家不認為他的東西怎麼樣，一放放了幾十年。幾十年之後伽羅瓦的東西才被發表。他所有這些東西都是對的，而且他也獨立地發表了群論。他比阿貝爾的高明之處就在於，阿貝爾說一般的五次方程不可解，伽羅瓦說誰給我五次方程，我就能推出來它是可解還是不可解，這是了不起的，伽羅瓦二十多歲就去世了，經常有人說：如果他今天還繼續活著，我們的數學該會是什麼樣？沒辦法知道。數學家都是瘋子，為了愛情，為了政治，把命都丟掉了。他丟了命確實跟數學沒關係的，他要是好好做數學應該沒有問題！

我今天在這裡要打一個成語，過一會兒到我會把謎底解出來——「方程無解」，打一成語，你如果知道，（先）別說。

等冪和問題

我要講的第3部分稍微現代化一點，叫做等冪和問題。但這是一個很古老的問題，就是說我給個整數，什麼時候整數可以寫成兩個有理數的k次冪的和？這是一個比較簡單的，也是很經典的問題。比如說1等於3/5的平方加4/5的平方，65等於4的平方與7的平方之和。

這跟前面有什麼關係？如果前面所有講的東西都是一元多次方程，一個方程只有一個元，那麼這些東西求解不求解的問題相對要簡單一些。現在是一個方程裡面有兩個，甚至多個變量在裡面。有兩個變量的方程比有一個變量要難得多，為什麼呢？我不允許你用根號，如果在整數裡求解，那只能是整數；在有理數裡求解，只能是有理數。這個問題就比原來的問題要複雜得多的多。這個問題也有很早的歷史。在最早的時候，歐幾裡得的《幾何原本》裡面就有這樣的問題。《幾何原本》被認為是近現代純數學最系統的一本書。但專門研究這些整數性的方程，其實是在另外一本書。公元200年，一個叫做丟番圖的人（Diophantine）寫了一本書，這本書跟中國的《九章算術》差不多，是平行的。《九章算術》列了大概400多個問題，它是列了200多個問題，裡面提到：哪些數可以寫成兩個數的平方？丟番圖通過一些驗算之後猜測，一個素數能夠寫成兩個數的平方，若且唯若這個數除以4餘1。比如說5，那是1+2的平方；11就不能寫成兩個數的平方，除完4等於3；17沒問題，4平方加1。丟番圖的猜想差不多花了1000多年之後才被費馬（Pierre de Fermat）證明。費馬是個傳奇式的人物，首先他不是個數學家，他是個法官。做法官是很孤獨的，法官不能跟老百姓平常地聊天，因為擔心判決的公正性。所以他平時沒事喜歡做一些數學，做完數學之後，就寫信給他朋友，但是他從不把證明寫給朋友。於是就變成一個非常有趣的事情，他證明了很多定理，但沒有一個定理有證明。其中最出名的一個例子，他把丟番圖《算數》那本書裡面碰到一個問題，也就是剛才的平方問題，變成了立方問題。然後他在上面寫，我已經找到一個絕妙的證明，但這個書的邊太小了，我寫不下來。他就把那書放那兒了。這個證明300多年之後才被安德魯·懷斯（Andrew Wiles）在1994年證明。幾十年之後，出現了另外一個大數學家叫歐拉（Leonhard Euler）。歐拉年輕的時候名氣也不大，他就把費馬的每條定理單獨證一遍，但到了最後有一條證不出來，那就是「費馬最後定理」（即費馬大定理）。我今天講的是費馬第一個出乎意料的定理，他證明了一個沒有平方因子的有理數是兩個有理數的和。你把這個數分解之後，每個數因子要麼是2，要麼4N+1。2很好辦，就1+1，但他把4N+1證出來了。他在某一年的聖誕節給他朋友寫信，說我想我已經證出來一個有理數是兩個平方數的和！他說我這個證明很絕妙，怎麼證的？他說如果一個數能夠寫成兩個數的平方和，假如它不是模4餘1，我還可以找一個更小的數，也是滿足同樣的條件。一直往下推到最後，推不下去了，肯定就做出來了。然後他給這個辦法起名叫「無限下降法」。無限下降法是數學領域一個分支，在數論裡面是一個最經典的方法。那麼同樣他從來沒有給細節，這個細節的證明幾百年之後才有人把它證出來。費馬還有一些有趣的事情很有意思。比如我們大家知道微積分通常認為是牛頓發明的，如果你把牛頓的《數學原理》打開，牛頓是這樣說的，他所有的工作都是由於費馬工作的影響。因為費馬當年在沒有微積分的情況下，就已經知道怎麼去求切線，在微積分裡面叫費馬定理。求極大值的時候用費馬，求面積一樣，費馬甚至知道什麼叫變分法，這也是一個很了不起的東西。

未來科學

我最後講講future science，就是未來科學。我前面二次的問題解決了，三次四次那麼解決？剩下的問題，我們沒有多少東西。關於三次方程和四次方程之後，我們知道的東西非常少。

一個整數能夠寫成兩個三次實數的平方和，概率只有1/2。這個很邪門，有時候你能夠逮得著，有時候逮不著，只有1/2的機會。這猜想之後牽扯到另外一個大猜想，叫做BSD猜想，全稱貝赫和斯維納通-戴爾猜想（Birch and Swinnerton-Dyer 猜想），是2000年美國克雷數學研究所提出的，叫做世紀問題。你解決這個問題就能拿100萬美金，也不需要評估。你證了之後，只要文章拿出來，就給你錢。關於四次以上的等冪和問題，我們知道得更少。1983年，法爾廷斯（Gerd Faltings）證明了，隨便給個N，這個方程很可能有解，最多只有有限多的解，不會有無窮多的解。但你要知道，後面這是有理數，如果整數的還好辦一些，有理數的話沒那麼容易。由於這個結果，1986年他拿了菲爾茲獎，另外一個就是懷爾斯（Andrew Wiles）。這個是費馬當年在那個書裡面小頁上，沒有時間寫的那個東西。花了350年之後，懷爾斯證明了這個定理，用了現在所有的數學知識，絕對是空白邊做不出來的。但我們今天認為費馬沒有證明，他只是胡說，但也有一些人認為Andrew Wiles可能有別的更妙的證明。那麼另外一個猜想叫做ABC猜想，如果ABC猜想被證實的話，這個方程不只是知道怎麼解決，應該有個程序求解。就是說我把這方程輸進去之後，電腦程式就能把解輸出來了。這是未來數學當中的兩大數學問題，一個是BS猜想，一個是ABC猜想。我想今天下午張益唐要講另外一個猜想，叫黎曼猜想，在數學裡面差不多有這三大猜想。今天在座的大家都來聽聽笑話，不是要真的做數學，你要真的做數學沒問題，但是你想想看，做數學代價很大，要麼是用生命的代價，要麼饑寒交迫。但今天設備還是好了很多，我們國家對數學的重視程度，今天跟以往沒法比。那麼數學家和非數學上認為，數學家是什麼樣的？達爾文（Charles Robert Darwin）說，數學家就是在黑盒子裡找一個黑帽子的瞎子。數學家在他本來就是個瞎子，在黑屋子裡面還找個帽子，那帽子其實也不存在，但是不妨礙他找這個帽子。回過頭來說，數學就無解之解。根號負1不存在，沒關係，我想像它存在。就像畢達哥拉斯是第一個哲學家，把我們的宇宙分成兩部分，一個叫感性宇宙，一個叫理性宇宙。感性宇宙是你可以測得到的，比如物理學、化學；理性宇宙是，你想像到的東西也是宇宙。所以數學是你可以想像的。還有個數學家說，數學家就是把咖啡轉換成定理的機器。所以你現在發現，要建一個數學系，最重要的事情是什麼？咖啡機。數學家沒事就去喝咖啡，喝完咖啡到辦公室再做數學，做不出來之後再喝咖啡，後來再做數學。如果沒咖啡他做不出東西，這是一個很重要的事情。

最後，我要揭開前面謎語的謎底，方程無解——求之不得。為什麼呢？對我們數學家來說，就是要解沒解的方程，這樣的話我們才能夠延續自己的研究，才能夠有自己的生命。

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